MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăCombinatoricăTeoria Mulțimilor
Demonstrați prin inducție matematică că o mulțime cu n elemente are exact 2n2^n submulțimi, unde n este un număr natural.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=0: mulțimea vidă are o submulțime (ea însăși), iar 20=12^0 = 1, deci este adevărat. Pentru n=1: o mulțime cu un element are două submulțimi (mulțimea vidă și mulțimea însăși), iar 21=22^1 = 2, deci este adevărat.
23 puncte
Presupunem adevărat pentru n=k, adică o mulțime cu k elemente are 2k2^k submulțimi (ipoteza de inducție).
35 puncte
Considerăm o mulțime A cu k+1 elemente. Fixăm un element x din A. Submulțimile lui A se împart în două categorii: cele care nu conțin x (acestea sunt submulțimi ale mulțimii A \ {x}, care are k elemente, deci prin ipoteză sunt 2k2^k) și cele care conțin x (fiecare se obține adăugând x la o submulțime a lui A \ {x}, deci tot 2k2^k). Totalul este 2k+2k=2⋅2k=2k+12^k + 2^k = 2 \cdot 2^k = 2^{k+1}, ceea ce demonstrează afirmația pentru n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.