MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateStudiul funcțiilorTrigonometrie
Studiați continuitatea funcției f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R} definită prin f(x)=x⋅sin⁡(1x)f(x) = \sqrt{x} \cdot \sin\left(\frac{1}{x}\right) pentru x>0x>0 și f(0)=0f(0)=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Pe intervalul (0,∞)(0, \infty), funcția ff este continuă deoarece este produsul dintre funcțiile continue x\sqrt{x} și sin⁡(1/x)\sin(1/x) (compunere de funcții continue).
24 puncte
Studiem continuitatea în x=0x=0: trebuie arătat că lim⁡x→0+f(x)=f(0)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0) = 0.
33 puncte
Folosim inegalitatea ∣f(x)∣=∣xsin⁡(1/x)∣≤x|f(x)| = |\sqrt{x} \sin(1/x)| \leq \sqrt{x} pentru x>0x>0 și observăm că lim⁡x→0+x=0\lim_{x \to 0^+} \sqrt{x} = 0. Aplicând teorema cleștelui, rezultă lim⁡x→0+f(x)=0\lim_{x \to 0^+} f(x) = 0, deci ff este continuă în x=0x=0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.