MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=42x−y+3z=13x+y+4z=7\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + 4z = 7 \end{cases}. Apoi, considerați sistemul cu parametrul real aa: {x+2y+z=42x−y+3z=13x+y+az=7\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \\ 3x + y + az = 7 \end{cases}. Discutați, în funcție de aa, compatibilitatea sistemului și găsiți soluțiile când există.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem sistemul sub formă matriceală: A⋅X=BA \cdot X = B, unde A=(1212−13314)A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & 4 \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(417)B = \begin{pmatrix} 4 \\ 1 \\ 7 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculăm determinantul matricei AA: det⁡(A)=1⋅(−1⋅4−3⋅1)−2⋅(2⋅4−3⋅3)+1⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=1⋅(−4−3)−2⋅(8−9)+1⋅(2+3)=−7−2⋅(−1)+5=−7+2+5=0\det(A) = 1 \cdot (-1 \cdot 4 - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot 4 - 3 \cdot 3) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = 1 \cdot (-4 - 3) - 2 \cdot (8 - 9) + 1 \cdot (2 + 3) = -7 - 2 \cdot (-1) + 5 = -7 + 2 + 5 = 0.
33 puncte
Pentru sistemul fără parametru, deoarece det⁡(A)=0\det(A) = 0, verificăm compatibilitatea calculând rangurile matricei extinse. Găsim că sistemul are infinitate de soluții; exprimăm xx și yy în funcție de zz, de exemplu din primele două ecuații.
42 puncte
Pentru sistemul cu parametrul aa, considerăm matricea A′=(1212−1331a)A' = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \\ 3 & 1 & a \end{pmatrix}. Calculăm det⁡(A′)=1⋅(−1⋅a−3⋅1)−2⋅(2⋅a−3⋅3)+1⋅(2⋅1−(−1)⋅3)=−a−3−2⋅(2a−9)+5=−a−3−4a+18+5=−5a+20\det(A') = 1 \cdot (-1 \cdot a - 3 \cdot 1) - 2 \cdot (2 \cdot a - 3 \cdot 3) + 1 \cdot (2 \cdot 1 - (-1) \cdot 3) = -a - 3 - 2 \cdot (2a - 9) + 5 = -a - 3 - 4a + 18 + 5 = -5a + 20. Discutăm: dacă det⁡(A′)≠0\det(A') \neq 0 (i.e., a≠4a \neq 4), sistemul are soluție unică; dacă a=4a = 4, verificăm compatibilitatea pentru a determina dacă are infinitate de soluții sau nu are soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.