MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (xn)n≥1(x_n)_{n \geq 1} definit prin x1=1x_1 = 1 și xn+1=2+xnx_{n+1} = \sqrt{2 + x_n} pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că xn<2x_n < 2 pentru orice n≥1n \geq 1. Apoi, folosind acest rezultat, arătați că șirul este monoton crescător și calculați lim⁡n→∞xn\lim_{n \to \infty} x_n.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se verifică cazul de bază: Pentru n=1n=1, x1=1<2x_1 = 1 < 2, deci inegalitatea este adevărată.
23 puncte
Se presupune că xk<2x_k < 2 pentru un k≥1k \geq 1 (ipoteza de inducție) și se demonstrează că xk+1<2x_{k+1} < 2: xk+1=2+xk<2+2=4=2x_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} < \sqrt{2 + 2} = \sqrt{4} = 2, deci xk+1<2x_{k+1} < 2.
32 puncte
Se arată că șirul este monoton crescător prin inducție: pentru n=1n=1, x2=3>1=x1x_2 = \sqrt{3} > 1 = x_1. Presupunem xk>xk−1x_{k} > x_{k-1} pentru un k≥2k \geq 2. Atunci xk+1=2+xk>2+xk−1=xkx_{k+1} = \sqrt{2 + x_k} > \sqrt{2 + x_{k-1}} = x_k, deci șirul este crescător.
43 puncte
Șirul este mărginit superior de 2 și monoton crescător, deci convergent. Fie L=lim⁡n→∞xnL = \lim_{n \to \infty} x_n. Din relația de recurență, L=2+LL = \sqrt{2 + L}, deci L2=2+LL^2 = 2 + L, adică L2−L−2=0L^2 - L - 2 = 0, cu soluțiile L=2L = 2 sau L=−1L = -1. Deoarece termenii sunt pozitivi, L=2L = 2.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.