MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere Complexe
Fie z1,z2,z3∈Cz_1, z_2, z_3 \in \mathbb{C} numere complexe. Calculați determinantul D=∣1z1z1‾1z2z2‾1z3z3‾∣D = \begin{vmatrix} 1 & z_1 & \overline{z_1} \\ 1 & z_2 & \overline{z_2} \\ 1 & z_3 & \overline{z_3} \end{vmatrix} și arătați că DD este un număr real pur. Apoi, determinați condiția ca D=0D = 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
15 puncte
Scriem determinantul și observăm că D=D‾D = \overline{D} deoarece conjugarea schimbă coloanele: D‾=∣1z1‾z11z2‾z21z3‾z3∣=D\overline{D} = \begin{vmatrix} 1 & \overline{z_1} & z_1 \\ 1 & \overline{z_2} & z_2 \\ 1 & \overline{z_3} & z_3 \end{vmatrix} = D (prin schimbarea coloanelor 2 și 3, semnul se schimbă de două ori, deci rămâne același).
23 puncte
Din D=D‾D = \overline{D}, rezultă că DD este real, adică Im(D)=0\text{Im}(D) = 0.
32 puncte
Condiția D=0D=0 este echivalentă cu z1,z2,z3z_1, z_2, z_3 coliniare în planul complex, deoarece determinantul exprimă aria orientată a triunghiului format de punctele corespunzătoare.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.