MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateAplicații ale derivatelor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2+ax+bdaca˘ x≤12x+1daca˘ x>1f(x) = \begin{cases} x^2 + ax + b & \text{dacă } x \leq 1 \\ 2x + 1 & \text{dacă } x > 1 \end{cases}. Determinați a,b∈Ra, b \in \mathbb{R} astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R} și să aibă un punct de extrem local în x=1x=1.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți condiția de continuitate în x=1x=1: lim⁡x→1−f(x)=12+a⋅1+b=1+a+b\lim_{x \to 1^-} f(x) = 1^2 + a \cdot 1 + b = 1 + a + b, lim⁡x→1+f(x)=2⋅1+1=3\lim_{x \to 1^+} f(x) = 2 \cdot 1 + 1 = 3, și f(1)=1+a+bf(1) = 1 + a + b; impuneți 1+a+b=31 + a + b = 3.
23 puncte
Studiați derivabilitatea: pentru x<1x < 1, f′(x)=2x+af'(x) = 2x + a, deci f−′(1)=2+af'_-(1) = 2 + a; pentru x>1x > 1, f′(x)=2f'(x) = 2, deci f+′(1)=2f'_+(1) = 2. Pentru extrem local în x=1x=1, trebuie ca f−′(1)⋅f+′(1)≤0f'_-(1) \cdot f'_+(1) \leq 0 sau derivata să nu existe; aici derivata există dacă 2+a=22+a = 2, dar pentru extrem, impuneți f−′(1)=0f'_-(1) = 0 (minim) sau f+′(1)≠0f'_+(1) \neq 0 cu semne opuse; alegeți f−′(1)=0f'_-(1) = 0 pentru simplitate: 2+a=02+a=0.
33 puncte
Rezolvați sistemul: din 1+a+b=31 + a + b = 3 și 2+a=02+a=0, obțineți a=−2a=-2 și b=4b=4; verificați că f+′(1)=2>0f'_+(1)=2>0, deci în x=1x=1 este punct de minim local.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.