MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Se consideră sistemul de ecuații liniare: {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} ax + y + z = 1 \\ x + ay + z = a \\ x + y + az = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Calculați determinantul matricei sistemului. b) Determinați valorile lui aa pentru care sistemul este compatibil determinat. c) Pentru a=2a=2, rezolvați sistemul.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scriem determinantul matricei sistemului: D=∣a111a111a∣D = \begin{vmatrix} a & 1 & 1 \\ 1 & a & 1 \\ 1 & 1 & a \end{vmatrix}. Calculăm folosind regula lui Sarrus: D=a⋅a⋅a+1⋅1⋅1+1⋅1⋅1−1⋅a⋅1−1⋅1⋅a−a⋅1⋅1=a3+1+1−a−a−a=a3−3a+2D = a \cdot a \cdot a + 1 \cdot 1 \cdot 1 + 1 \cdot 1 \cdot 1 - 1 \cdot a \cdot 1 - 1 \cdot 1 \cdot a - a \cdot 1 \cdot 1 = a^3 + 1 + 1 - a - a - a = a^3 - 3a + 2.
24 puncte
Sistemul este compatibil determinat dacă D≠0D \neq 0. Rezolvăm ecuația a3−3a+2=0a^3 - 3a + 2 = 0. Factorizăm: a3−3a+2=(a−1)2(a+2)a^3 - 3a + 2 = (a-1)^2(a+2). Deci D=0D=0 pentru a=1a=1 (dublă) și a=−2a=-2. Prin urmare, sistemul este compatibil determinat pentru a∈R∖{1,−2}a \in \mathbb{R} \setminus \{1, -2\}.
33 puncte
Pentru a=2a=2, sistemul devine: {2x+y+z=1x+2y+z=2x+y+2z=4\begin{cases} 2x + y + z = 1 \\ x + 2y + z = 2 \\ x + y + 2z = 4 \end{cases}. Calculăm D=23−3⋅2+2=8−6+2=4D = 2^3 - 3\cdot2 + 2 = 8 - 6 + 2 = 4. Aplicăm regula lui Cramer. Calculăm Dx=∣111221412∣=1⋅2⋅2+1⋅1⋅4+1⋅2⋅1−1⋅2⋅4−1⋅1⋅1−1⋅2⋅2=4+4+2−8−1−4=−3D_x = \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 2 & 1 \\ 4 & 1 & 2 \end{vmatrix} = 1\cdot2\cdot2 + 1\cdot1\cdot4 + 1\cdot2\cdot1 - 1\cdot2\cdot4 - 1\cdot1\cdot1 - 1\cdot2\cdot2 = 4 + 4 + 2 - 8 - 1 - 4 = -3. Similar, Dy=∣211121142∣=2⋅2⋅2+1⋅1⋅1+1⋅4⋅1−1⋅2⋅1−1⋅1⋅2−2⋅4⋅1=8+1+4−2−2−8=1D_y = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 1 \\ 1 & 4 & 2 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot2 + 1\cdot1\cdot1 + 1\cdot4\cdot1 - 1\cdot2\cdot1 - 1\cdot1\cdot2 - 2\cdot4\cdot1 = 8 + 1 + 4 - 2 - 2 - 8 = 1, Dz=∣211122114∣=2⋅2⋅4+1⋅2⋅1+1⋅1⋅1−1⋅2⋅1−1⋅2⋅2−2⋅1⋅4=16+2+1−2−4−8=5D_z = \begin{vmatrix} 2 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = 2\cdot2\cdot4 + 1\cdot2\cdot1 + 1\cdot1\cdot1 - 1\cdot2\cdot1 - 1\cdot2\cdot2 - 2\cdot1\cdot4 = 16 + 2 + 1 - 2 - 4 - 8 = 5. Atunci x=DxD=−34x = \frac{D_x}{D} = -\frac{3}{4}, y=DyD=14y = \frac{D_y}{D} = \frac{1}{4}, z=DzD=54z = \frac{D_z}{D} = \frac{5}{4}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.