MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se determine numărul de soluții întregi nenegative ale ecuației x1+x2+x3=10x_1 + x_2 + x_3 = 10, cu condițiile x1≥1x_1 \geq 1, x2≥2x_2 \geq 2, și x3≤5x_3 \leq 5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se aplică condițiile. Fie y1=x1−1≥0y_1 = x_1 - 1 \geq 0, y2=x2−2≥0y_2 = x_2 - 2 \geq 0. Atunci ecuația devine y1+y2+x3=7y_1 + y_2 + x_3 = 7, cu x3≤5x_3 \leq 5 și y1,y2,x3≥0y_1, y_2, x_3 \geq 0.
24 puncte
Se calculează numărul total de soluții pentru y1+y2+x3=7y_1 + y_2 + x_3 = 7 fără restricția asupra x3x_3, folosind combinări cu repetiție: C7+3−13−1=C92=36C_{7+3-1}^{3-1} = C_9^2 = 36.
33 puncte
Se scad soluțiile cu x3≥6x_3 \geq 6. Pentru x3≥6x_3 \geq 6, fie z3=x3−6≥0z_3 = x_3 - 6 \geq 0, atunci y1+y2+z3=1y_1 + y_2 + z_3 = 1, cu numărul de soluții C1+3−13−1=C32=3C_{1+3-1}^{3-1} = C_3^2 = 3. Deci numărul de soluții care satisfac condițiile este 36−3=3336 - 3 = 33.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.