MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteStudiul funcțiilorDerivate
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2} și să se studieze monotonia și convexitatea acesteia.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determinarea domeniului de definiție: R∖{2}\mathbb{R} \setminus \{2\} și a asimptotei verticale: lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty, deci x=2x = 2 este asimptotă verticală.
23 puncte
Determinarea asimptotei oblice: se calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=2n = \lim_{x \to \pm\infty} (f(x) - mx) = 2, deci y=x+2y = x + 2 este asimptotă oblică spre +∞+\infty și −∞-\infty.
33 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=x2−4x+1(x−2)2f'(x) = \frac{x^2 - 4x + 1}{(x-2)^2}; se rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0, obținând x=2±3x = 2 \pm \sqrt{3}; se studiază semnul derivatei pentru intervalele de monotonie: creștere pe (−∞,2−3)(-\infty, 2-\sqrt{3}) și (2+3,∞)(2+\sqrt{3}, \infty), descreștere pe (2−3,2)(2-\sqrt{3}, 2) și (2,2+3)(2, 2+\sqrt{3}).
42 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=6(x−2)3f''(x) = \frac{6}{(x-2)^3}; se studiază semnul: convexă ( f′′(x)>0f''(x) > 0 ) pe (2,∞)(2, \infty), concavă ( f′′(x)<0f''(x) < 0 ) pe (−∞,2)(-\infty, 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.