MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie Analitică
Fie semicercul de ecuație y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2}. Un dreptunghi este înscris în acest semicerc, cu baza pe axa Ox și vârfurile de pe semicercul. Determinați dimensiunile dreptunghiului de arie maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se definește funcția ariei. Fie xx abscisa punctului de pe semicerc, cu x>0x > 0. Baza dreptunghiului este 2x2x, înălțimea este y=4−x2y = \sqrt{4 - x^2}, deci aria A(x)=2x4−x2A(x) = 2x \sqrt{4 - x^2}, cu x∈(0,2)x \in (0,2).
24 puncte
Se calculează derivata: A′(x)=24−x2+2x⋅−x4−x2=2(4−x2)−2x24−x2=8−4x24−x2A'(x) = 2\sqrt{4 - x^2} + 2x \cdot \frac{-x}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{2(4 - x^2) - 2x^2}{\sqrt{4 - x^2}} = \frac{8 - 4x^2}{\sqrt{4 - x^2}}. Se rezolvă A′(x)=0A'(x) = 0, adică 8−4x2=08 - 4x^2 = 0, deci x2=2x^2 = 2, x=2x = \sqrt{2} (valoarea pozitivă).
33 puncte
Se verifică că x=2x = \sqrt{2} este punct de maxim, de exemplu prin semnul derivatei sau folosind a doua derivată. Dimensiunile sunt: baza 222\sqrt{2}, înălțimea 4−2=2\sqrt{4 - 2} = \sqrt{2}, deci dreptunghiul este pătrat cu latura 2\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.