MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥0n \geq 0, numărul 11n+2+122n+111^{n+2} + 12^{2n+1} este divizibil cu 133.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=0n=0: 110+2+122⋅0+1=112+121=121+12=13311^{0+2} + 12^{2 \cdot 0 + 1} = 11^2 + 12^1 = 121 + 12 = 133, care este divizibil cu 133.
22 puncte
Presupunem că pentru un k≥0k \geq 0, 11k+2+122k+111^{k+2} + 12^{2k+1} este divizibil cu 133 (ipoteza de inducție).
36 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: Considerăm 11(k+1)+2+122(k+1)+1=11k+3+122k+311^{(k+1)+2} + 12^{2(k+1)+1} = 11^{k+3} + 12^{2k+3}. Scriem 11k+3=11⋅11k+211^{k+3} = 11 \cdot 11^{k+2} și 122k+3=122⋅122k+1=144⋅122k+112^{2k+3} = 12^2 \cdot 12^{2k+1} = 144 \cdot 12^{2k+1}. Atunci, expresia devine 11⋅11k+2+144⋅122k+111 \cdot 11^{k+2} + 144 \cdot 12^{2k+1}. Adăugăm și scădem 11⋅122k+111 \cdot 12^{2k+1}: 11⋅11k+2+144⋅122k+1=11(11k+2+122k+1)+(144−11)⋅122k+1=11(11k+2+122k+1)+133⋅122k+111 \cdot 11^{k+2} + 144 \cdot 12^{2k+1} = 11(11^{k+2} + 12^{2k+1}) + (144 - 11) \cdot 12^{2k+1} = 11(11^{k+2} + 12^{2k+1}) + 133 \cdot 12^{2k+1}. Din ipoteză, 11k+2+122k+111^{k+2} + 12^{2k+1} este divizibil cu 133, iar 133⋅122k+1133 \cdot 12^{2k+1} este divizibil cu 133, deci suma este divizibilă cu 133. Astfel, afirmația este adevărată pentru n=k+1n=k+1. Prin inducție, este adevărată pentru toate n≥0n \geq 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.