MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere RealeSisteme de Ecuații Neliniare
Fie a,b,ca, b, c numere reale astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați identitatea algebrică a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. Apoi, folosind această identitate, determinați numerele reale x,y,zx, y, z care satisfac sistemul: {x+y+z=0x3+y3+z3=24xyz=8\begin{cases} x + y + z = 0 \\ x^3 + y^3 + z^3 = 24 \\ xyz = 8 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Din a+b+c=0a + b + c = 0, avem c=−a−bc = -a - b. Calculăm a3+b3+c3=a3+b3+(−a−b)3=a3+b3−(a3+3a2b+3ab2+b3)=−3ab(a+b)a^3 + b^3 + c^3 = a^3 + b^3 + (-a-b)^3 = a^3 + b^3 - (a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3) = -3ab(a+b). Dar c=−a−bc = -a-b, deci abc=ab(−a−b)=−ab(a+b)abc = ab(-a-b) = -ab(a+b). Astfel, a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc.
23 puncte
Aplicăm identitatea la sistem: din x+y+z=0x + y + z = 0, conform identității, avem x3+y3+z3=3xyzx^3 + y^3 + z^3 = 3xyz. Înlocuind valorile date, 24=3⋅824 = 3 \cdot 8, ceea ce este adevărat, deci sistemul este consistent.
33 puncte
Pentru a găsi soluții specifice, observăm că din x+y+z=0x + y + z = 0 și xyz=8xyz = 8, putem căuta soluții particulare. De exemplu, presupunem y=zy = z. Atunci, din x+2y=0x + 2y = 0 avem x=−2yx = -2y, și din xyz=8xyz = 8 avem (−2y)⋅y⋅y=−2y3=8(-2y) \cdot y \cdot y = -2y^3 = 8, deci y3=−4y^3 = -4, adică y=−43y = -\sqrt[3]{4}. Atunci, x=243x = 2\sqrt[3]{4} și z=−43z = -\sqrt[3]{4}. Verificând, x3+y3+z3=(243)3+(−43)3+(−43)3=8⋅4−4−4=32−8=24x^3 + y^3 + z^3 = (2\sqrt[3]{4})^3 + (-\sqrt[3]{4})^3 + (-\sqrt[3]{4})^3 = 8 \cdot 4 - 4 - 4 = 32 - 8 = 24, ceea ce confirmă. O altă soluție simetrică poate fi găsită.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.