MediuEcuații iraționaleClasa 10

Problemă rezolvată de Ecuații iraționale

MediuEcuații iraționaleSisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați în mulțimea numerelor reale sistemul de ecuații: {x+y=4x+y=10\begin{cases} \sqrt{x} + \sqrt{y} = 4 \\ x + y = 10 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
11 punct
Determinarea domeniului: x≥0x \geq 0 și y≥0y \geq 0 deoarece radicalii sunt definiți pentru numere reale nenegative.
22 puncte
Se face substituția a=xa = \sqrt{x} și b=yb = \sqrt{y}, cu a≥0a \geq 0, b≥0b \geq 0. Sistemul devine {a+b=4a2+b2=10\begin{cases} a + b = 4 \\ a^2 + b^2 = 10 \end{cases}.
35 puncte
Din a+b=4a+b=4, ridicând la pătrat obținem a2+2ab+b2=16a^2 + 2ab + b^2 = 16. Folosind a2+b2=10a^2 + b^2 = 10, rezultă 2ab=6⇒ab=32ab = 6 \Rightarrow ab = 3. Atunci aa și bb sunt rădăcinile ecuației t2−4t+3=0t^2 - 4t + 3 = 0, cu soluțiile t1=1t_1=1 și t2=3t_2=3. Deci (a,b)=(1,3)(a,b) = (1,3) sau (3,1)(3,1), iar (x,y)=(1,3)(\sqrt{x}, \sqrt{y}) = (1,3) sau (3,1)(3,1), de unde x=1,y=9x=1, y=9 sau x=9,y=1x=9, y=1.
42 puncte
Verificarea domeniului: soluțiile obținute satisfac x≥0x \geq 0 și y≥0y \geq 0, deci soluțiile sistemului sunt (1,9)(1,9) și (9,1)(9,1).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Ecuații iraționale

Greu#1Ecuații iraționale
Fie a>0a > 0 un parametru real. Se consideră ecuația x+a−x−a=1\sqrt{x + a} - \sqrt{x - a} = 1. a) Determinați condițiile de existență pentru xx. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Pentru ce valori ale lui aa ecuația are soluție reală? d) Pentru a=2a = 2, calculați x2x^2.
Greu#2Ecuații iraționale
Fie a∈Ra \in \mathbb{R} un parametru. Se consideră ecuația x2−4x+a=x−2\sqrt{x^2 - 4x + a} = x - 2. a) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are sens. b) Rezolvați ecuația în funcție de aa. c) Determinați valorile lui aa pentru care ecuația are exact două soluții reale distincte. d) Pentru a=5a = 5, calculați suma soluțiilor ecuației.
Greu#3Ecuații iraționale
Rezolvați în R\mathbb{R} ecuația x+3−x−2=4x+1\sqrt{x+3} - \sqrt{x-2} = \sqrt{4x+1}. a) Stabiliți condițiile de existență. b) Ridicați la pătrat și simplificați. c) Verificați soluțiile obținute.
Ușor#4Ecuații iraționaleDomeniul de definiție al funcțiilor
Rezolvați ecuația (x2−1)2x−1=0.(x^2 - 1)\sqrt{2x - 1} = 0.
Vezi toate problemele de Ecuații iraționale →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Ecuații iraționale cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.