MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={ax2+2x+3,x≤0ln⁡(x+1)+b,x>0f(x) = \begin{cases} ax^2 + 2x + 3, & x \leq 0 \\ \ln(x+1) + b, & x > 0 \end{cases}. Determinați parametrii reali aa și bb astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R}. Pentru valorile găsite, calculați f′(0)f'(0) dacă există.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scrieți condiția de continuitate în x=0x=0: lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0). Calculați limitele: lim⁡x→0−(ax2+2x+3)=3\lim_{x \to 0^-} (ax^2 + 2x + 3) = 3 și lim⁡x→0+(ln⁡(x+1)+b)=b\lim_{x \to 0^+} (\ln(x+1) + b) = b. Obțineți b=3b=3 și f(0)=3f(0)=3.
23 puncte
Din continuitate, lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0), deci b=3b=3. Nu există altă condiție pentru aa din continuitate, deci aa poate fi orice număr real. Pentru a avea derivabilitate, verificați condițiile suplimentare.
33 puncte
Calculați derivata laterală stângă: f−′(0)=lim⁡x→0−f(x)−f(0)x=lim⁡x→0−ax2+2x+3−3x=lim⁡x→0−(ax+2)=2f'_-(0) = \lim_{x \to 0^-} \frac{f(x)-f(0)}{x} = \lim_{x \to 0^-} \frac{ax^2 + 2x + 3 - 3}{x} = \lim_{x \to 0^-} (ax + 2) = 2. Derivata laterală dreaptă: f+′(0)=lim⁡x→0+ln⁡(x+1)+3−3x=lim⁡x→0+ln⁡(x+1)x=1f'_+(0) = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1) + 3 - 3}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{\ln(x+1)}{x} = 1 (folosind lim⁡t→0ln⁡(1+t)t=1\lim_{t \to 0} \frac{\ln(1+t)}{t}=1). Deoarece f−′(0)≠f+′(0)f'_-(0) \neq f'_+(0), f′(0)f'(0) nu există pentru orice aa. Punctajul total: 10 puncte.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.