MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateStudiul funcțiilorAplicații ale derivatelor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={ax2+bx+2,x≤23x+c,x>2f(x) = \begin{cases} ax^2 + bx + 2, & x \leq 2 \\ 3x + c, & x > 2 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât ff să fie continuă pe R\mathbb{R} și să aibă derivata în punctul x=2x=2 egală cu 55.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrierea condiției de continuitate în x=2x=2: lim⁡x→2−f(x)=lim⁡x→2+f(x)=f(2)\lim_{x \to 2^-} f(x) = \lim_{x \to 2^+} f(x) = f(2). Se obține 4a+2b+2=6+c4a + 2b + 2 = 6 + c.
24 puncte
Scrierea condiției de derivabilitate în x=2x=2: f−′(2)=f+′(2)f'_-(2) = f'_+(2). Derivata la stânga: f−′(2)=2a⋅2+b=4a+bf'_-(2) = 2a \cdot 2 + b = 4a + b. Derivata la dreapta: f+′(2)=3f'_+(2) = 3. Ecuația: 4a+b=54a + b = 5.
33 puncte
Rezolvarea sistemului: {4a+2b+2=6+c4a+b=5\begin{cases} 4a + 2b + 2 = 6 + c \\ 4a + b = 5 \end{cases}. Din a doua ecuație, b=5−4ab = 5 - 4a. Înlocuind în prima: 4a+2(5−4a)+2=6+c⇒4a+10−8a+2=6+c⇒−4a+12=6+c⇒c=6−4a4a + 2(5-4a) + 2 = 6 + c \Rightarrow 4a + 10 - 8a + 2 = 6 + c \Rightarrow -4a + 12 = 6 + c \Rightarrow c = 6 - 4a. Soluția generală: a∈Ra \in \mathbb{R}, b=5−4ab = 5 - 4a, c=6−4ac = 6 - 4a. Se verifică că pentru orice aa real, funcția este continuă și derivabilă în x=2x=2 cu derivata 55.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.