MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere RealeFuncția de gradul al II-lea
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−(a+1)x+a≤0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - (a+1)x + a \leq 0 \} și B={x∈R∣∣x−1∣≤2}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-1| \leq 2 \}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. a) Pentru ce valori ale lui aa avem A⊆BA \subseteq B? b) Pentru a=3a=3, determinați A∩BA \cap B.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Se rezolvă inecuația x2−(a+1)x+a≤0x^2 - (a+1)x + a \leq 0. Factorizând, obținem (x−1)(x−a)≤0(x-1)(x-a) \leq 0. Discuție după aa: dacă a<1a<1, soluția este [a,1][a,1]; dacă a=1a=1, soluția este {1}\{1\}; dacă a>1a>1, soluția este [1,a][1,a]. Deci A=[min⁡(1,a),max⁡(1,a)]A = [\min(1,a), \max(1,a)] sau {1}\{1\} pentru a=1a=1.
22 puncte
Din ∣x−1∣≤2|x-1| \leq 2, rezultă −2≤x−1≤2-2 \leq x-1 \leq 2, deci −1≤x≤3-1 \leq x \leq 3. Astfel, B=[−1,3]B = [-1,3].
33 puncte
Pentru A⊆BA \subseteq B, trebuie ca intervalul AA să fie inclus în [−1,3][-1,3]. Dacă a<1a<1, A=[a,1]A=[a,1], inclus dacă a≥−1a \geq -1. Dacă a=1a=1, A={1}A=\{1\}, inclus. Dacă a>1a>1, A=[1,a]A=[1,a], inclus dacă a≤3a \leq 3. Deci condiția este a∈[−1,3]a \in [-1,3].
42 puncte
Pentru a=3a=3, din step 1, A=[1,3]A=[1,3], și B=[−1,3]B=[-1,3], deci A∩B=[1,3]A \cap B = [1,3].

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.