MediuInducție matematicăClasa 9

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n, numărul 11n+2+122n+111^{n+2} + 12^{2n+1} este divizibil cu 133.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1: 111+2+122⋅1+1=113+123=1331+1728=3059=133⋅2311^{1+2} + 12^{2\cdot1+1} = 11^3 + 12^3 = 1331 + 1728 = 3059 = 133 \cdot 23, deci este divizibil cu 133.
23 puncte
Presupunem că pentru un n natural, 11n+2+122n+111^{n+2} + 12^{2n+1} este divizibil cu 133, adică există un întreg k astfel încât 11n+2+122n+1=133k11^{n+2} + 12^{2n+1} = 133k.
35 puncte
Demonstrăm pentru n+1. Calculăm 11(n+1)+2+122(n+1)+1=11n+3+122n+3=11⋅11n+2+122⋅122n+1=11⋅11n+2+144⋅122n+111^{(n+1)+2} + 12^{2(n+1)+1} = 11^{n+3} + 12^{2n+3} = 11 \cdot 11^{n+2} + 12^2 \cdot 12^{2n+1} = 11 \cdot 11^{n+2} + 144 \cdot 12^{2n+1}. Folosind ipoteza inductivă, 11n+2=133k−122n+111^{n+2} = 133k - 12^{2n+1}. Înlocuim: 11(133k−122n+1)+144⋅122n+1=1463k−11⋅122n+1+144⋅122n+1=1463k+133⋅122n+1=133(11k+122n+1)11(133k - 12^{2n+1}) + 144 \cdot 12^{2n+1} = 1463k - 11 \cdot 12^{2n+1} + 144 \cdot 12^{2n+1} = 1463k + 133 \cdot 12^{2n+1} = 133(11k + 12^{2n+1}), care este divizibil cu 133. Astfel, pasul inductiv este demonstrat.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.