MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrie
Fie triunghiul ABC cu laturile AB=10AB = 10, BC=12BC = 12 și unghiul B=120∘B = 120^\circ. Calculați lungimea laturii AC și aria triunghiului. Apoi, determinați raza cercului circumscris triunghiului.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Aplicăm teorema cosinusului: AC2=AB2+BC2−2⋅AB⋅BC⋅cos⁡BAC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot \cos B. Cu AB=10AB=10, BC=12BC=12, cos⁡120∘=−12\cos 120^\circ = -\frac{1}{2}, obținem AC2=100+144−2⋅10⋅12⋅(−12)=244+120=364AC^2 = 100 + 144 - 2 \cdot 10 \cdot 12 \cdot (-\frac{1}{2}) = 244 + 120 = 364, deci AC=364=291AC = \sqrt{364} = 2\sqrt{91}.
23 puncte
Aria triunghiului: A=12⋅AB⋅BC⋅sin⁡B=12⋅10⋅12⋅sin⁡120∘=60⋅32=303A = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot \sin B = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot 12 \cdot \sin 120^\circ = 60 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 30\sqrt{3}.
34 puncte
Pentru raza cercului circumscris, folosim teorema sinusurilor: ACsin⁡B=2R\frac{AC}{\sin B} = 2R. sin⁡120∘=32\sin 120^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}, deci 2R=29132=4913=427332R = \frac{2\sqrt{91}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = \frac{4\sqrt{91}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{273}}{3}, așadar R=22733R = \frac{2\sqrt{273}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.