MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorEcuații exponentialeEcuații logaritmice
Fie mulțimile A={x∈R∣2x−1+23−x=5}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid 2^{x-1} + 2^{3-x} = 5 \} și B={y∈R∣log⁡2(y−1)+log⁡2(y+1)=1}B = \{ y \in \mathbb{R} \mid \log_2(y-1) + \log_2(y+1) = 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și verificați dacă A⊆BA \subseteq B sau B⊆AB \subseteq A.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Rezolvăm ecuația pentru A. Notăm t=2x−1t = 2^{x-1}, atunci 23−x=23⋅2−x=8⋅12x=8⋅12t2^{3-x} = 2^{3} \cdot 2^{-x} = 8 \cdot \frac{1}{2^{x}} = 8 \cdot \frac{1}{2t} deoarece 2x−1=t2^{x-1} = t implică 2x=2t2^x = 2t. Ecuația devine t+82t=5t + \frac{8}{2t} = 5, adică t+4t=5t + \frac{4}{t} = 5. Multiplicăm cu tt: t2+4=5tt^2 + 4 = 5t, deci t2−5t+4=0t^2 - 5t + 4 = 0. Soluțiile t=1t=1 și t=4t=4. Pentru t=1t=1, 2x−1=12^{x-1}=1 deci x−1=0x-1=0, x=1x=1. Pentru t=4t=4, 2x−1=42^{x-1}=4 deci x−1=2x-1=2, x=3x=3. Astfel, A={1,3}A = \{1, 3\}.
23 puncte
Rezolvăm ecuația pentru B. Folosim proprietățile logaritmilor: log⁡2(y−1)+log⁡2(y+1)=log⁡2((y−1)(y+1))=1\log_2(y-1) + \log_2(y+1) = \log_2((y-1)(y+1)) = 1, deci (y−1)(y+1)=21=2(y-1)(y+1) = 2^1 = 2, adică y2−1=2y^2 - 1 = 2, y2=3y^2 = 3, y=3y = \sqrt{3} sau y=−3y = -\sqrt{3}. Verificăm condițiile de existență: y−1>0y-1 > 0 și y+1>0y+1 > 0, deci y>1y > 1. Astfel, doar y=3y = \sqrt{3} este valid. Deci B={3}B = \{\sqrt{3}\}.
32 puncte
Determinați A∩BA \cap B și A∪BA \cup B. A∩B=∅A \cap B = \emptyset deoarece 3∉{1,3}\sqrt{3} \notin \{1,3\}. A∪B={1,3,3}A \cup B = \{1, 3, \sqrt{3}\}.
42 puncte
Verificați incluziunile. A={1,3}A = \{1,3\} și B={3}B = \{\sqrt{3}\}. Nu este adevărat că A⊆BA \subseteq B deoarece 1∉B1 \notin B și 3∉B3 \notin B. Nu este adevărat că B⊆AB \subseteq A deoarece 3∉A\sqrt{3} \notin A. Așadar, niciuna dintre incluziuni nu este adevărată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.