MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați că pentru orice numere reale a,b,ca, b, c, are loc egalitatea: ∣1aa21bb21cc2∣=(a−b)(b−c)(c−a)\begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix} = (a-b)(b-c)(c-a).

Rezolvare completă

10 puncte · 6 pași
12 puncte
Scriem determinantul D=∣1aa21bb21cc2∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 1 & b & b^2 \\ 1 & c & c^2 \end{vmatrix}.
22 puncte
Scădem prima linie din a doua și a treia linie: L2←L2−L1L_2 \leftarrow L_2 - L_1, L3←L3−L1L_3 \leftarrow L_3 - L_1. Obținem D=∣1aa20b−ab2−a20c−ac2−a2∣D = \begin{vmatrix} 1 & a & a^2 \\ 0 & b-a & b^2 - a^2 \\ 0 & c-a & c^2 - a^2 \end{vmatrix}.
32 puncte
Dezvoltăm determinantul după prima coloană: D=1⋅∣b−ab2−a2c−ac2−a2∣D = 1 \cdot \begin{vmatrix} b-a & b^2 - a^2 \\ c-a & c^2 - a^2 \end{vmatrix}.
42 puncte
Factorizăm termenii: b2−a2=(b−a)(b+a)b^2 - a^2 = (b-a)(b+a) și c2−a2=(c−a)(c+a)c^2 - a^2 = (c-a)(c+a). Atunci D=∣b−a(b−a)(b+a)c−a(c−a)(c+a)∣=(b−a)(c−a)∣1b+a1c+a∣D = \begin{vmatrix} b-a & (b-a)(b+a) \\ c-a & (c-a)(c+a) \end{vmatrix} = (b-a)(c-a) \begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix}.
51 punct
Calculăm determinantul de ordin 2: ∣1b+a1c+a∣=(c+a)−(b+a)=c−b\begin{vmatrix} 1 & b+a \\ 1 & c+a \end{vmatrix} = (c+a) - (b+a) = c-b.
61 punct
Înlocuim: D=(b−a)(c−a)(c−b)=(a−b)(b−c)(c−a)D = (b-a)(c-a)(c-b) = (a-b)(b-c)(c-a), deoarece (b−a)=−(a−b)(b-a) = -(a-b), (c−b)=−(b−c)(c-b) = -(b-c), și produsul semnelor dă semnul corect.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.