MediuIdentități algebriceClasa 9

Problemă rezolvată de Identități algebrice

MediuIdentități algebriceInducție matematică
Folosind inducția matematică și identități algebrice, demonstrați că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, avem 13+23+⋯+n3=(1+2+⋯+n)21^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = (1+2+\cdots+n)^2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
11 punct
Pentru n=1n=1, avem 13=11^3=1 și (1)2=1(1)^2=1, deci egalitatea este adevărată.\n
22 puncte
Presupunem că pentru n=kn=k, egalitatea este adevărată, adică 13+23+⋯+k3=(1+2+⋯+k)21^3+2^3+\cdots+k^3 = (1+2+\cdots+k)^2.\n
37 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Calculăm 13+23+⋯+k3+(k+1)3=(1+2+⋯+k)2+(k+1)31^3+2^3+\cdots+k^3+(k+1)^3 = (1+2+\cdots+k)^2 + (k+1)^3 (din ipoteza inductivă). Folosim identitatea 1+2+⋯+k=k(k+1)21+2+\cdots+k = \frac{k(k+1)}{2}, deci (1+2+⋯+k)2=(k(k+1)2)2=k2(k+1)24(1+2+\cdots+k)^2 = \left(\frac{k(k+1)}{2}\right)^2 = \frac{k^2(k+1)^2}{4}. Atunci, suma devine k2(k+1)24+(k+1)3=(k+1)2(k24+(k+1))=(k+1)2(k2+4k+44)=(k+1)2(k+2)24=((k+1)(k+2)2)2=(1+2+⋯+k+(k+1))2\frac{k^2(k+1)^2}{4} + (k+1)^3 = (k+1)^2 \left( \frac{k^2}{4} + (k+1) \right) = (k+1)^2 \left( \frac{k^2 + 4k + 4}{4} \right) = (k+1)^2 \frac{(k+2)^2}{4} = \left( \frac{(k+1)(k+2)}{2} \right)^2 = (1+2+\cdots+k+(k+1))^2, deoarece 1+2+⋯+(k+1)=(k+1)(k+2)21+2+\cdots+(k+1) = \frac{(k+1)(k+2)}{2}. Astfel, egalitatea este demonstrată pentru n=k+1n=k+1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Identități algebrice

Greu#1Identități algebrice
Se consideră numerele reale x,y,zx, y, z care verifică x+y+z=0x + y + z = 0 și x2+y2+z2=6x^2 + y^2 + z^2 = 6. a) Demonstrați că xy+yz+zx=−3xy + yz + zx = -3. b) Calculați x3+y3+z3x^3 + y^3 + z^3. c) Determinați valoarea maximă a lui xyzxyz. d) Pentru x=1x = 1, determinați valorile lui yy și zz.
Greu#2Identități algebrice
Fie a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R} astfel încât a+b+c=0a + b + c = 0. Demonstrați că: a) a3+b3+c3=3abca^3 + b^3 + c^3 = 3abc. b) a5+b5+c5=5abc(ab+bc+ca)a^5 + b^5 + c^5 = 5abc(ab + bc + ca). c) Calculați a7+b7+c7abc(ab+bc+ca)\frac{a^7 + b^7 + c^7}{abc(ab + bc + ca)} dacă abc≠0abc \neq 0.
Ușor#3Identități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Să se demonstreze că pentru orice numere reale aa și bb, cu a≠ba \neq b, are loc identitatea: a2−b2a−b=a+b\frac{a^2 - b^2}{a - b} = a + b. Apoi, folosind această identitate, să se calculeze valoarea expresiei E=32−223−2+52−325−3E = \frac{3^2 - 2^2}{3 - 2} + \frac{5^2 - 3^2}{5 - 3}.
Mediu#4Identități algebriceTrigonometrie
Demonstrați identitatea sin⁡3x+cos⁡3x=(sin⁡x+cos⁡x)(1−sin⁡xcos⁡x)\sin^3 x + \cos^3 x = (\sin x + \cos x)(1 - \sin x \cos x) și rezolvați ecuația sin⁡3x+cos⁡3x=1\sin^3 x + \cos^3 x = 1 pentru x∈[0,2π]x \in [0, 2\pi].
Vezi toate problemele de Identități algebrice →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Identități algebrice cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.