MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)={x2sin⁡(1x),daca˘ x≠00,daca˘ x=0f(x) = \begin{cases} x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right), & \text{dacă } x \neq 0 \\ 0, & \text{dacă } x = 0 \end{cases}. Demonstrați că ff este continuă pe R\mathbb{R} și că are derivată în x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 2 pași
15 puncte
Demonstrarea continuității în x=0x=0. Se observă că pentru x≠0x \neq 0, ∣f(x)∣=∣x2sin⁡(1x)∣≤x2|f(x)| = |x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)| \leq x^2. Cum lim⁡x→0x2=0\lim_{x \to 0} x^2 = 0, prin teorema cleștelui, lim⁡x→0f(x)=0\lim_{x \to 0} f(x) = 0. Dar f(0)=0f(0) = 0, deci lim⁡x→0f(x)=f(0)\lim_{x \to 0} f(x) = f(0), adică ff continuă în 00. În celelalte puncte, ff este continuă ca produs de funcții continue.
25 puncte
Calculul derivatei în x=0x=0. Folosim definiția: f′(0)=lim⁡h→0f(h)−f(0)h=lim⁡h→0h2sin⁡(1h)h=lim⁡h→0hsin⁡(1h)f'(0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(h) - f(0)}{h} = \lim_{h \to 0} \frac{h^2 \sin\left(\frac{1}{h}\right)}{h} = \lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right). Deoarece ∣hsin⁡(1h)∣≤∣h∣|h \sin\left(\frac{1}{h}\right)| \leq |h| și lim⁡h→0∣h∣=0\lim_{h \to 0} |h| = 0, rezultă că lim⁡h→0hsin⁡(1h)=0\lim_{h \to 0} h \sin\left(\frac{1}{h}\right) = 0, deci f′(0)=0f'(0) = 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.