MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*, ∑i=1ni⋅2i=(n−1)2n+1+2\sum_{i=1}^{n} i \cdot 2^i = (n-1)2^{n+1} + 2.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: ∑i=11i⋅2i=1⋅21=2\sum_{i=1}^{1} i \cdot 2^i = 1 \cdot 2^1 = 2 și (1−1)21+1+2=0⋅4+2=2(1-1)2^{1+1} + 2 = 0 \cdot 4 + 2 = 2, deci egalitatea este adevărată.
24 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică ∑i=1ki⋅2i=(k−1)2k+1+2\sum_{i=1}^{k} i \cdot 2^i = (k-1)2^{k+1} + 2.
34 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1: ∑i=1k+1i⋅2i=∑i=1ki⋅2i+(k+1)2k+1=(k−1)2k+1+2+(k+1)2k+1=[(k−1)+(k+1)]2k+1+2=(2k)2k+1+2=k⋅2k+2+2\sum_{i=1}^{k+1} i \cdot 2^i = \sum_{i=1}^{k} i \cdot 2^i + (k+1)2^{k+1} = (k-1)2^{k+1} + 2 + (k+1)2^{k+1} = [(k-1)+(k+1)]2^{k+1} + 2 = (2k)2^{k+1} + 2 = k \cdot 2^{k+2} + 2. Dar ((k+1)−1)2(k+1)+1+2=k⋅2k+2+2( (k+1)-1)2^{(k+1)+1} + 2 = k \cdot 2^{k+2} + 2, deci egalitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.