MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorAsimptoteStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R}, f(x)=x2+2x−1f(x) = \frac{x^2 + 2}{x - 1}. Determinați asimptotele graficului funcției, intervalele de monotonie și punctele de extrem.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Determină asimptota verticală: x=1x=1 deoarece lim⁡x→1+f(x)=+∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = +\infty și lim⁡x→1−f(x)=−∞\lim_{x \to 1^-} f(x) = -\infty.
23 puncte
Determină asimptota oblică: calculează m=lim⁡x→±∞f(x)x=1m = \lim_{x \to \pm \infty} \frac{f(x)}{x} = 1 și n=lim⁡x→±∞(f(x)−mx)=1n = \lim_{x \to \pm \infty} (f(x) - mx) = 1, deci asimptota este y=x+1y = x + 1.
32 puncte
Calculează derivata întâi: f′(x)=x2−2x−2(x−1)2f'(x) = \frac{x^2 - 2x - 2}{(x-1)^2}.
43 puncte
Rezolvă f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x=1±3x = 1 \pm \sqrt{3}; analizează semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1−3)∪(1+3,∞)x \in (-\infty, 1-\sqrt{3}) \cup (1+\sqrt{3}, \infty) (funcție crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1−3,1)∪(1,1+3)x \in (1-\sqrt{3}, 1) \cup (1, 1+\sqrt{3}) (funcție descrescătoare); identifică punctele de extrem: maxim local în x=1−3x=1-\sqrt{3} și minim local în x=1+3x=1+\sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.