MediuSisteme de Ecuații NeliniareClasa 10

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Neliniare

MediuSisteme de Ecuații NeliniareLogaritmiEcuații logaritmice
Să se determine toate perechile de numere reale pozitive (x,y)(x, y) care satisfac sistemul: {log⁡2(x)+log⁡2(y)=3x2+y2=20\begin{cases} \log_2(x) + \log_2(y) = 3 \\ x^2 + y^2 = 20 \end{cases}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Folosind proprietățile logaritmilor, din prima ecuație avem log⁡2(xy)=3\log_2(xy) = 3, deci xy=23=8xy = 2^3 = 8.
23 puncte
Notăm S=x+yS = x + y și P=xy=8P = xy = 8. Din a doua ecuație, x2+y2=20x^2 + y^2 = 20, și folosind identitatea x2+y2=(x+y)2−2xyx^2 + y^2 = (x+y)^2 - 2xy, obținem S2−2P=20S^2 - 2P = 20, adică S2−16=20S^2 - 16 = 20, deci S2=36S^2 = 36, așadar S=±6S = \pm 6.
33 puncte
Pentru S=6S = 6 și P=8P = 8, ecuația t2−St+P=0t^2 - St + P = 0 devine t2−6t+8=0t^2 - 6t + 8 = 0, cu soluțiile t=2t = 2 și t=4t = 4, deci perechile (x,y)=(2,4)(x, y) = (2, 4) sau (4,2)(4, 2). Pentru S=−6S = -6 și P=8P = 8, ecuația t2+6t+8=0t^2 + 6t + 8 = 0 are soluții negative, dar xx și yy sunt pozitive, deci nu sunt acceptabile.
41 punct
Verificăm că perechile (2,4)(2, 4) și (4,2)(4, 2) satisfac ambele ecuații originale. Soluțiile sunt (2,4)(2, 4) și (4,2)(4, 2).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Neliniare

Ușor#1Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: y+x−1=0y + x - 1 = 0, ∣y∣−x−1=0|y| - x - 1 = 0
Ușor#2Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: x+3∣y∣−1=0x + 3|y| - 1 = 0, x+y+3=0x + y + 3 = 0
Mediu#3Sisteme de Ecuații NeliniareFuncția de gradul I
Rezolvați sistemul: y−2x+1=0y - 2x + 1 = 0, y−∣x∣−1=0y - |x| - 1 = 0
Ușor#4Sisteme de Ecuații NeliniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați sistemul: ∣x−1∣+y=0|x - 1| + y = 0, 2x−y=12x - y = 1
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Neliniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Neliniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.