MediuCombinatoricăClasa 10

Problemă rezolvată de Combinatorică

MediuCombinatoricăIdentități algebrice
Demonstrați identitatea combinatorică: ∑k=0n(nk)2=(2nn)\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 = \binom{2n}{n} folosind argumente combinatorice.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Considerați o mulțime cu 2n2n elemente, împărțită în două submulțimi de câte nn elemente fiecare. Suma ∑k=0n(nk)2\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2 reprezintă numărul de moduri de a alege kk elemente din prima submulțime și n−kn-k din a doua, pentru toți kk de la 0 la nn.
22 puncte
(2nn)\binom{2n}{n} reprezintă numărul de moduri de a alege nn elemente din cele 2n2n.
33 puncte
Stabilirea unei bijecții: fiecare alegere de nn elemente din 2n2n corespunde unei perechi (A,B)(A,B) unde AA este submulțimea aleasă din prima jumătate și BB este complementul în a doua jumătate, astfel încât ∣A∣+∣B∣=n|A| + |B| = n. Aceasta dă suma ∑k=0n(nk)(nn−k)=∑k=0n(nk)2\sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} \binom{n}{n-k} = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k}^2.
42 puncte
Concluzie: identitatea este demonstrată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Combinatorică

Mediu#1CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația combinatorică C2xx+1C2x+1x−1=23\frac{C_{2x}^{x+1}}{C_{2x+1}^{x-1}} = \frac{2}{3}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#2CombinatoricăFuncția de gradul al II-lea
Rezolvați ecuația A2x−1−C1x=79A_{2}^{x-1} - C_{1}^{x} = 79, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#3CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația 3C2x+1=2A2x3C_{2}^{x+1} = 2A_{2}^{x}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Ușor#4CombinatoricăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați ecuația Cx+12Cx3=45\frac{C_{x+1}^{2}}{C_{x}^{3}} = \frac{4}{5}, unde x∈N.x \in \mathbb{N}.
Vezi toate problemele de Combinatorică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Combinatorică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.