MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateLogaritmiAplicații ale derivatelor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡x−x+1f(x) = \ln x - x + 1. Studiați monotonie și convexitatea funcției ff și demonstrați că f(x)≤0f(x) \leq 0 pentru orice x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculați derivatele: f′(x)=1x−1f'(x) = \frac{1}{x} - 1 și f′′(x)=−1x2f''(x) = -\frac{1}{x^2}.
23 puncte
Studiați semnul lui f′(x)f'(x). f′(x)=0f'(x) = 0 pentru x=1x=1. Pentru 0<x<10 < x < 1, f′(x)>0f'(x) > 0, deci ff crescătoare; pentru x>1x > 1, f′(x)<0f'(x) < 0, deci ff descrescătoare.
32 puncte
Studiați semnul lui f′′(x)f''(x). f′′(x)=−1x2<0f''(x) = -\frac{1}{x^2} < 0 pentru orice x>0x>0, deci ff este concavă pe (0,∞)(0, \infty).
43 puncte
Deoarece ff are un maxim la x=1x=1 (din monotonie), și f(1)=ln⁡1−1+1=0f(1) = \ln 1 - 1 + 1 = 0, rezultă că f(x)≤f(1)=0f(x) \leq f(1) = 0 pentru orice x>0x > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.