MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteEcuații logaritmiceStudiul funcțiilor
Fie funcția f:(0,∞)→Rf: (0, \infty) \to \mathbb{R}, f(x)=ln⁡(x)x+xf(x) = \frac{\ln(x)}{x} + x. Determinați asimptotele funcției ff și discutați existența lor în funcție de limite.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică asimptotele verticale: lim⁡x→0+f(x)=lim⁡x→0+(ln⁡(x)x+x)\lim_{x \to 0^+} f(x) = \lim_{x \to 0^+} \left( \frac{\ln(x)}{x} + x \right). Deoarece ln⁡(x)→−∞\ln(x) \to -\infty și x→0x \to 0, se aplică regula lui L'Hôpital sau se observă că ln⁡(x)x→−∞\frac{\ln(x)}{x} \to -\infty, deci lim⁡x→0+f(x)=−∞\lim_{x \to 0^+} f(x) = -\infty, iar x=0x=0 este asimptotă verticală.
24 puncte
Pentru asimptote orizontale sau oblice la ∞\infty, se calculează lim⁡x→∞f(x)=lim⁡x→∞(ln⁡(x)x+x)=∞\lim_{x \to \infty} f(x) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\ln(x)}{x} + x \right) = \infty (deoarece ln⁡(x)x→0\frac{\ln(x)}{x} \to 0 și x→∞x \to \infty). Apoi, pentru asimptota oblică, m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞(ln⁡(x)x2+1)=1m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\ln(x)}{x^2} + 1 \right) = 1 și n=lim⁡x→∞(f(x)−mx)=lim⁡x→∞(ln⁡(x)x+x−x)=lim⁡x→∞ln⁡(x)x=0n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - mx) = \lim_{x \to \infty} \left( \frac{\ln(x)}{x} + x - x \right) = \lim_{x \to \infty} \frac{\ln(x)}{x} = 0. Deci asimptota oblică este y=xy = x.
34 puncte
Se confirmă că nu există alte asimptote și se discută comportamentul la infinit: graficul se apropie de asimptota y=xy=x când x→∞x \to \infty, iar la x→0+x \to 0^+, funcția are o asimptotă verticală.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.