MediuMonotonie și convexitateClasa 12

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateIntegrale definiteDerivate
Fie funcția f:[0,∞)→Rf: [0, \infty) \to \mathbb{R} definită prin f(x)=∫0xe−t2dtf(x) = \int_0^x e^{-t^2} dt. a) Arătați că ff este strict crescătoare pe [0,∞)[0, \infty). b) Studiați convexitatea funcției ff pe [0,∞)[0, \infty).

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata funcției ff folosind teorema fundamentală a calculului integral: f′(x)=e−x2f'(x) = e^{-x^2}.
22 puncte
Observați că f′(x)>0f'(x) > 0 pentru orice x≥0x \geq 0, deci ff este strict crescătoare pe [0,∞)[0, \infty).
33 puncte
Calculați derivata a doua: f′′(x)=−2xe−x2f''(x) = -2x e^{-x^2}.
42 puncte
Analizați semnul lui f′′(x)f''(x): pentru x>0x > 0, f′′(x)<0f''(x) < 0, iar pentru x=0x=0, f′′(0)=0f''(0)=0. Astfel, ff este concavă pe (0,∞)(0, \infty), iar x=0x=0 este punct de inflexiune.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.