MediuInducție matematicăClasa 10

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăMatematică financiarăProgresii Geometrice
Considerăm o depunere anuală constantă de PP lei la începutul fiecărui an, cu o rată anuală a dobânzii de rr (sub formă zecimală). Suma totală acumulată după nn ani, notată SnS_n, se calculează cu dobândă compusă. Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, Sn=P(1+r)n−1r(1+r)S_n = P \frac{(1+r)^n - 1}{r} (1+r).

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Se verifică pentru n=1n=1: după un an, suma este S1=P(1+r)S_1 = P(1+r) (depunere la început, dobândă pentru un an). Calculăm cu formula: P(1+r)1−1r(1+r)=Prr(1+r)=P(1+r)P \frac{(1+r)^1 - 1}{r} (1+r) = P \frac{r}{r} (1+r) = P(1+r), deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Se presupune că formula este adevărată pentru un anumit n=kn=k (ipoteza de inducție), adică Sk=P(1+r)k−1r(1+r)S_k = P \frac{(1+r)^k - 1}{r} (1+r).
35 puncte
Se demonstrează pentru n=k+1n=k+1: Sk+1=Sk(1+r)+P(1+r)S_{k+1} = S_k (1+r) + P(1+r) deoarece la începutul anului k+1k+1 se depune PP, care se capitalizează pentru un an, iar suma anterioară SkS_k se capitalizează pentru un an. Folosind ipoteza: Sk+1=(P(1+r)k−1r(1+r))(1+r)+P(1+r)=P(1+r)((1+r)k−1r(1+r)+1)=P(1+r)((1+r)k+1−(1+r)+rr)=P(1+r)(1+r)k+1−1rS_{k+1} = \left( P \frac{(1+r)^k - 1}{r} (1+r) \right)(1+r) + P(1+r) = P(1+r) \left( \frac{(1+r)^k - 1}{r} (1+r) + 1 \right) = P(1+r) \left( \frac{(1+r)^{k+1} - (1+r) + r}{r} \right) = P(1+r) \frac{(1+r)^{k+1} - 1}{r}, care este formula pentru n=k+1n=k+1. Astfel, prin inducție, formula este adevărată pentru toți n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.