MediuTeoria MulțimilorClasa 10

Problemă rezolvată de Teoria Mulțimilor

MediuTeoria MulțimilorNumere ComplexeGeometrie Analitică
Fie mulțimea M={z∈C∣∣z∣≤2}M = \{ z \in \mathbb{C} \mid |z| \le 2 \} și N={z∈C∣Re(z)≥1}N = \{ z \in \mathbb{C} \mid \text{Re}(z) \ge 1 \}. Reprezentați în planul complex mulțimile MM și NN și determinați M∩NM \cap N. Calculați aria regiunii M∩NM \cap N.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Descrierea mulțimii MM: ∣z∣≤2|z| \le 2 reprezintă discul închis cu centrul în origine și raza 2, inclusiv cercul de frontieră.
22 puncte
Descrierea mulțimii NN: Re(z)≥1\text{Re}(z) \ge 1 reprezintă semiplanul închis la dreapta dreptei verticale x=1x=1 (unde z=x+iyz = x+iy).
32 puncte
Determinarea lui M∩NM \cap N: intersecția dintre disc și semiplan este o porțiune a discului cu x≥1x \ge 1. Se poate descrie ca mulțimea punctelor (x,y)(x,y) cu x2+y2≤4x^2 + y^2 \le 4 și x≥1x \ge 1.
44 puncte
Calculul ariei: regiunea este un segment de disc. Se consideră cercul x2+y2=4x^2 + y^2 = 4 și dreapta x=1x=1. Intersecția dintre cerc și dreaptă dă punctele y=±3y = \pm \sqrt{3}. Aria segmentului circular se calculează ca diferență între aria sectorului circular și aria triunghiului corespunzător. Unghiul sectorului: θ=2arccos⁡(1/2)=2⋅π/3=2π/3\theta = 2 \arccos(1/2) = 2 \cdot \pi/3 = 2\pi/3 radiani (deoarece cos⁡(θ/2)=1/2\cos(\theta/2) = 1/2). Aria sectorului: As=12⋅22⋅2π3=4π3A_s = \frac{1}{2} \cdot 2^2 \cdot \frac{2\pi}{3} = \frac{4\pi}{3}. Aria triunghiului: baza 232\sqrt{3}, înălțimea 11, deci At=12⋅23⋅1=3A_t = \frac{1}{2} \cdot 2\sqrt{3} \cdot 1 = \sqrt{3}. Aria segmentului: A=As−At=4π3−3A = A_s - A_t = \frac{4\pi}{3} - \sqrt{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Teoria Mulțimilor

Mediu#1Teoria MulțimilorLegi de compozițieAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimea M={x∈R∣x>0}M = \{ x \in \mathbb{R} \mid x > 0 \} și operația ∘\circ definită prin x∘y=xyx+yx \circ y = \frac{xy}{x+y}. a) Arătați că ∘\circ este comutativă dar nu este asociativă. b) Rezolvați ecuația (x∘2)∘3=1(x \circ 2) \circ 3 = 1.
Ușor#2Teoria MulțimilorAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Fie mulțimile A={x∈R∣x2−5x+6<0}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid x^2 - 5x + 6 < 0 \} și B={x∈R∣∣x−2∣≤1}B = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-2| \leq 1 \}. Determinați A∩BA \cap B, A∪BA \cup B, și A∖BA \setminus B.
Ușor#3Teoria MulțimilorEcuații logaritmice
Determinați mulțimea A={x∈R∣log⁡2(x−1)+log⁡2(x+3)=3}A = \{ x \in \mathbb{R} \mid \log_2(x-1) + \log_2(x+3) = 3 \}.
Ușor#4Teoria MulțimilorLogică matematică
Demonstrați că pentru orice mulțimi AA, BB și CC, avem A∖(B∩C)=(A∖B)∪(A∖C)A \setminus (B \cap C) = (A \setminus B) \cup (A \setminus C). Utilizați definițiile operațiilor cu mulțimi și proprietățile lor.
Vezi toate problemele de Teoria Mulțimilor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Teoria Mulțimilor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.