MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateSisteme de Ecuații Liniare
Fie funcția h:R→Rh: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin h(x)={x2+px+qdaca˘ x≤1rx+sdaca˘ x>1h(x) = \begin{cases} x^2 + px + q & \text{dacă } x \leq 1 \\ rx + s & \text{dacă } x > 1 \end{cases}, unde p,q,r,s∈Rp, q, r, s \in \mathbb{R}. Determinați p,q,r,sp, q, r, s astfel încât hh să fie continuă și derivabilă în x=1x=1, h(0)=2h(0)=2, și h′(2)=3h'(2)=3.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condițiile de continuitate și derivabilitate în x=1x=1. Continuitate: lim⁡x→1−h(x)=lim⁡x→1+h(x)=h(1)\lim_{x \to 1^-} h(x) = \lim_{x \to 1^+} h(x) = h(1). Calculăm: lim⁡x→1−(x2+px+q)=1+p+q\lim_{x \to 1^-} (x^2 + px + q) = 1 + p + q, lim⁡x→1+(rx+s)=r+s\lim_{x \to 1^+} (rx + s) = r + s, și h(1)=1+p+qh(1) = 1 + p + q. Deci 1+p+q=r+s1 + p + q = r + s. Derivabilitate: derivatele laterale sunt egale. Derivata stângă: hs′(1)=2x+p∣x=1=2+ph'_s(1) = 2x + p \big|_{x=1} = 2 + p. Derivata dreaptă: hd′(1)=rh'_d(1) = r. Deci 2+p=r2 + p = r.
23 puncte
Scriem condițiile suplimentare. Din h(0)=2h(0)=2: pentru x=0≤1x=0 \leq 1, h(0)=02+p⋅0+q=qh(0)=0^2 + p\cdot0 + q = q, deci q=2q=2. Din h′(2)=3h'(2)=3: pentru x=2>1x=2 > 1, h′(x)=rh'(x)=r, deci r=3r=3.
33 puncte
Rezolvăm sistemul. Din r=3r=3 și 2+p=r2+p=r, obținem p=1p=1. Din q=2q=2 și 1+p+q=r+s1+p+q = r+s, adică 1+1+2=3+s1+1+2=3+s, rezultă s=1s=1. Soluția: p=1,q=2,r=3,s=1p=1, q=2, r=3, s=1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.