MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorGeometrie AnaliticăMatematică aplicată
Un dreptunghi are vârfurile pe parabola de ecuație y=4−x2y = 4 - x^2 și pe axa OxOx. Determinați dimensiunile dreptunghiului cu aria maximă.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se notează vârfurile dreptunghiului: două pe axa OxOx, la coordonatele (a,0)(a,0) și (−a,0)(-a,0) cu a>0a>0, și două pe parabola, la coordonatele (a,4−a2)(a, 4-a^2) și (−a,4−a2)(-a, 4-a^2). Lățimea este 2a2a, înălțimea este 4−a24-a^2, deci aria A(a)=2a(4−a2)=8a−2a3A(a) = 2a(4-a^2) = 8a - 2a^3, cu a∈(0,2)a \in (0,2).
23 puncte
Se derivează funcția ariei: A′(a)=8−6a2A'(a) = 8 - 6a^2. Se rezolvă A′(a)=0A'(a)=0: 8−6a2=0⇒a2=43⇒a=2338-6a^2=0 \Rightarrow a^2 = \frac{4}{3} \Rightarrow a = \frac{2\sqrt{3}}{3} (valoare pozitivă în interval).
33 puncte
Se studiază semnul derivatei: pentru a<233a < \frac{2\sqrt{3}}{3}, A′(a)>0A'(a) > 0 (funcția crescătoare), iar pentru a>233a > \frac{2\sqrt{3}}{3}, A′(a)<0A'(a) < 0 (funcție descrescătoare), deci a=233a = \frac{2\sqrt{3}}{3} este punct de maxim.
42 puncte
Dimensiunile dreptunghiului sunt: lățimea 2a=4332a = \frac{4\sqrt{3}}{3} și înălțimea 4−a2=4−43=834-a^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{8}{3}. Aria maximă este A(233)=1633A\left(\frac{2\sqrt{3}}{3}\right) = \frac{16\sqrt{3}}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.