MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDomeniul de definiție al funcțiilorEcuații logaritmice
Fie funcția f(x)=ln⁡(x−1x+1)f(x) = \ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right). a) Determinați domeniul de definiție și asimptotele funcției. b) Rezolvați ecuația f(x)=ln⁡(2)f(x) = \ln(2). c) Studiați monotonia funcției pe domeniul său de definiție.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Domeniul de definiție: x−1x+1>0\frac{x-1}{x+1} > 0, rezolvând inecuația se obține x∈(−∞,−1)∪(1,∞)x \in (-\infty, -1) \cup (1, \infty). Asimptote verticale: la x=−1x = -1 deoarece lim⁡x→−1−x−1x+1=+∞\lim_{x \to -1^-} \frac{x-1}{x+1} = +\infty, deci lim⁡x→−1−f(x)=+∞\lim_{x \to -1^-} f(x) = +\infty, și la x=1x = 1 deoarece lim⁡x→1+x−1x+1=0+\lim_{x \to 1^+} \frac{x-1}{x+1} = 0^+, deci lim⁡x→1+f(x)=−∞\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty. Asimptote orizontale: lim⁡x→±∞x−1x+1=1\lim_{x \to \pm \infty} \frac{x-1}{x+1} = 1, deci lim⁡x→±∞f(x)=ln⁡(1)=0\lim_{x \to \pm \infty} f(x) = \ln(1) = 0, deci y=0y=0 este asimptotă orizontală atât la −∞-\infty cât și la +∞+\infty.
23 puncte
Rezolvarea ecuației f(x)=ln⁡(2)f(x) = \ln(2): ln⁡(x−1x+1)=ln⁡(2)⇒x−1x+1=2⇒x−1=2(x+1)⇒x−1=2x+2⇒−x=3⇒x=−3\ln\left(\frac{x-1}{x+1}\right) = \ln(2) \Rightarrow \frac{x-1}{x+1} = 2 \Rightarrow x-1 = 2(x+1) \Rightarrow x-1 = 2x+2 \Rightarrow -x = 3 \Rightarrow x = -3. Se verifică domeniul: x=−3∈(−∞,−1)x=-3 \in (-\infty, -1), deci soluția este validă.
34 puncte
Derivata funcției: f′(x)=1x−1x+1⋅(x+1)−(x−1)(x+1)2=x+1x−1⋅2(x+1)2=2(x−1)(x+1)=2x2−1f'(x) = \frac{1}{\frac{x-1}{x+1}} \cdot \frac{(x+1) - (x-1)}{(x+1)^2} = \frac{x+1}{x-1} \cdot \frac{2}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x-1)(x+1)} = \frac{2}{x^2 - 1}. Pe domeniul (−∞,−1)∪(1,∞)(-\infty, -1) \cup (1, \infty), numitorul x2−1>0x^2 - 1 > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,−1)x \in (-\infty, -1) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1,∞)x \in (1, \infty)? Verificare: pentru x<−1x < -1, x2−1>0x^2 - 1 > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0; pentru x>1x > 1, x2−1>0x^2 - 1 > 0, deci f′(x)>0f'(x) > 0? Atenție: x2−1x^2 - 1 este pozitiv atât pentru x<−1x<-1 cât și pentru x>1x>1, deci f′(x)=2x2−1>0f'(x) = \frac{2}{x^2-1} > 0 pe întreg domeniul. Astfel, funcția este crescătoare pe (−∞,−1)(-\infty, -1) și pe (1,∞)(1, \infty).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.