MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Costul total de producție pentru un produs este dat de funcția C(x)=0.01x3−0.3x2+4x+100C(x) = 0.01x^3 - 0.3x^2 + 4x + 100, unde x≥0x \geq 0 este cantitatea produsă (în unități). a) Determinați funcția cost marginal Cm(x)C_m(x). b) Aflați cantitatea xx pentru care costul marginal este minim și calculați acest cost marginal minim. c) Studiați monotonia funcției cost mediu Cmed(x)=C(x)xC_{med}(x) = \frac{C(x)}{x} pentru x>0x > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Costul marginal este derivata costului total: Cm(x)=C′(x)=0.03x2−0.6x+4C_m(x) = C'(x) = 0.03x^2 - 0.6x + 4.
24 puncte
Pentru minimul costului marginal, derivăm Cm(x)C_m(x): Cm′(x)=0.06x−0.6C_m'(x) = 0.06x - 0.6. Rezolvăm Cm′(x)=0C_m'(x)=0 și obținem x=10x=10. Deoarece Cm′′(x)=0.06>0C_m''(x)=0.06 > 0, x=10x=10 este punct de minim. Costul marginal minim este Cm(10)=1C_m(10)=1.
33 puncte
Costul mediu este Cmed(x)=0.01x2−0.3x+4+100xC_{med}(x) = 0.01x^2 - 0.3x + 4 + \frac{100}{x}. Derivata sa este Cmed′(x)=0.02x−0.3−100x2C_{med}'(x) = 0.02x - 0.3 - \frac{100}{x^2}. Ecuația Cmed′(x)=0C_{med}'(x)=0 are o rădăcină pozitivă x0x_0. Pentru x<x0x < x_0, Cmed′(x)<0C_{med}'(x) < 0, deci costul mediu este descrescător; pentru x>x0x > x_0, Cmed′(x)>0C_{med}'(x) > 0, deci este crescător.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.