MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Rezolvați și discutați în funcție de parametrul real mm sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=12x+my+3z=2x+2y+mz=3\begin{cases} x + y + z = 1 \\ 2x + my + 3z = 2 \\ x + 2y + mz = 3 \end{cases}. Determinați pentru care valori ale lui mm sistemul are soluție unică, infinit de soluții sau nu are soluție. Găsiți soluția în cazurile corespunzătoare.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Scriem sistemul sub formă matricială: A⋅X=BA \cdot X = B, unde A=(1112m312m)A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & m & 3 \\ 1 & 2 & m \end{pmatrix}, X=(xyz)X = \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix}, B=(123)B = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}.
23 puncte
Calculăm det⁡(A)=1⋅det⁡(m32m)−1⋅det⁡(231m)+1⋅det⁡(2m12)=m2−6−(2m−3)+(4−m)=m2−3m+1\det(A) = 1 \cdot \det \begin{pmatrix} m & 3 \\ 2 & m \end{pmatrix} - 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 1 & m \end{pmatrix} + 1 \cdot \det \begin{pmatrix} 2 & m \\ 1 & 2 \end{pmatrix} = m^2 - 6 - (2m - 3) + (4 - m) = m^2 - 3m + 1.
33 puncte
Dacă det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, adică m≠3±52m \neq \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, sistemul are soluție unică. Rezolvând, obținem x=m2−5m+7m2−3m+1x = \frac{m^2 - 5m + 7}{m^2 - 3m + 1}, y=−2m2−3m+1y = \frac{-2}{m^2 - 3m + 1}, z=2(m−2)m2−3m+1z = \frac{2(m-2)}{m^2 - 3m + 1}.
42 puncte
Dacă m=3±52m = \frac{3 \pm \sqrt{5}}{2}, atunci det⁡(A)=0\det(A)=0. Se verifică că rankul matricei extinse este 3, iar rankul matricei coeficienților este 2, deci sistemul este incompatibil și nu are soluție.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.