MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateStudiul funcțiilor
Se consideră funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R}, f(x)=x33−2x2+3x+1f(x) = \frac{x^3}{3} - 2x^2 + 3x + 1. Determinați intervalele de monotonie, punctele de extrem și valorile funcției în aceste puncte. Studiați convexitatea funcției pe R\mathbb{R}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Calculează derivata întâi: f′(x)=x2−4x+3f'(x) = x^2 - 4x + 3.
23 puncte
Rezolvă ecuația f′(x)=0f'(x) = 0 obținând x1=1x_1 = 1 și x2=3x_2 = 3; analizează semnul derivatei: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1)∪(3,∞)x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) (funcție crescătoare) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1,3)x \in (1,3) (funcție descrescătoare).
33 puncte
Identifică punctele de extrem: maxim local în x=1x=1, f(1)=73f(1) = \frac{7}{3} și minim local în x=3x=3, f(3)=1f(3) = 1.
42 puncte
Calculează derivata a doua: f′′(x)=2x−4f''(x) = 2x - 4; studiază semnul: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>2x > 2 (funcție convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<2x < 2 (funcție concavă).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.