MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Studiați monotonia și convexitatea funcției f:R∖{1}→Rf: \mathbb{R} \setminus \{1\} \to \mathbb{R} definită prin f(x)=exx−1f(x) = \frac{e^x}{x-1}.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
11 punct
Determinarea domeniului de definiție: R∖{1}\mathbb{R} \setminus \{1\}.
23 puncte
Calculul derivatei întâi: f′(x)=ex(x−1)−ex(x−1)2=ex(x−2)(x−1)2f'(x) = \frac{e^x(x-1) - e^x}{(x-1)^2} = \frac{e^x(x-2)}{(x-1)^2}. Studierea semnului: f′(x)>0f'(x) > 0 pentru x∈(−∞,1)∪(2,∞)x \in (-\infty, 1) \cup (2, \infty) și f′(x)<0f'(x) < 0 pentru x∈(1,2)x \in (1, 2), deci ff este crescătoare pe (−∞,1)(-\infty, 1) și (2,∞)(2, \infty), descrescătoare pe (1,2)(1, 2).
33 puncte
Calculul derivatei a doua: f′′(x)=ex[(x−2)(x−1)2+(x−1)2−2(x−1)(x−2)](x−1)4=ex(x2−4x+5)(x−1)3f''(x) = \frac{e^x[(x-2)(x-1)^2 + (x-1)^2 - 2(x-1)(x-2)]}{(x-1)^4} = \frac{e^x(x^2 - 4x + 5)}{(x-1)^3}. Studierea semnului: Numărătorul ex(x2−4x+5)>0e^x(x^2 - 4x + 5) > 0 pentru orice x∈Rx \in \mathbb{R} (discriminant negativ). Semnul depinde de (x−1)3(x-1)^3: f′′(x)>0f''(x) > 0 pentru x>1x > 1 (funcție convexă) și f′′(x)<0f''(x) < 0 pentru x<1x < 1 (funcție concavă).
42 puncte
Concluzii: Intervalele de monotonie: crescătoare pe (−∞,1)(-\infty, 1) și (2,∞)(2, \infty), descrescătoare pe (1,2)(1, 2); convexitate: convexă pe (1,∞)(1, \infty), concavă pe (−∞,1)(-\infty, 1).
51 punct
Prezentarea corectă și organizată a rezultatelor.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.