MediuAsimptoteClasa 11

Problemă rezolvată de Asimptote

MediuAsimptoteDomeniul de definiție al funcțiilorStudiul funcțiilor
Fie funcția f:D→Rf: D \to \mathbb{R} definită prin f(x)=2x3−5x2+3x2−4f(x) = \frac{2x^3 - 5x^2 + 3}{x^2 - 4}. Determinați domeniul de definiție, asimptotele verticale și asimptotele oblice sau orizontale ale funcției. Analizați comportamentul funcției în vecinătatea asimptotelor.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Se determină domeniul de definiție: x2−4≠0⇒x≠±2x^2 - 4 \neq 0 \Rightarrow x \neq \pm 2, deci D=R∖{−2,2}D = \mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}.
23 puncte
Se calculează limitele pentru asimptotele verticale: lim⁡x→−2f(x)=lim⁡x→−22x3−5x2+3x2−4=∞\lim_{x \to -2} f(x) = \lim_{x \to -2} \frac{2x^3 - 5x^2 + 3}{x^2 - 4} = \infty (deoarece numitorul tinde la 0 și numărătorul este nenul), deci x=−2x = -2 este asimptotă verticală. Similar, lim⁡x→2f(x)=∞\lim_{x \to 2} f(x) = \infty, deci x=2x = 2 este asimptotă verticală.
33 puncte
Pentru asimptote oblice, se calculează m=lim⁡x→∞f(x)x=lim⁡x→∞2x3−5x2+3x(x2−4)=2m = \lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x^2 + 3}{x(x^2 - 4)} = 2 și n=lim⁡x→∞(f(x)−2x)=lim⁡x→∞2x3−5x2+3−2x(x2−4)x2−4=lim⁡x→∞−5x2+8x+3x2−4=−5n = \lim_{x \to \infty} (f(x) - 2x) = \lim_{x \to \infty} \frac{2x^3 - 5x^2 + 3 - 2x(x^2 - 4)}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \infty} \frac{-5x^2 + 8x + 3}{x^2 - 4} = -5. Deci asimptota oblică la +∞+\infty este y=2x−5y = 2x - 5. Similar, pentru x→−∞x \to -\infty, se obține aceeași asimptotă.
42 puncte
Comportamentul funcției: în x=−2x = -2 și x=2x = 2, funcția are discontinuități de tip infinit, apropiindu-se de asimptotele verticale. La infinit, funcția se apropie de dreapta y=2x−5y = 2x - 5.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Asimptote

Mediu#1AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se determine asimptotele funcției f(x)=x2−1x−2f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 2}.
Ușor#2AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se studieze existența asimptotelor orizontale pentru funcția f(x)=3x3+2xx2+1f(x) = \frac{3x^3 + 2x}{x^2 + 1}.
Ușor#3AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se găsească asimptotele oblice ale funcției f(x)=x2+2xx+1f(x) = \frac{x^2 + 2x}{x + 1}.
Ușor#4AsimptoteStudiul funcțiilor
Să se demonstreze că funcția f(x)=x2+1−xf(x) = \sqrt{x^2 + 1} - x are o asimptotă orizontală la +∞+\infty.
Vezi toate problemele de Asimptote →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Asimptote cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.