MediuMonotonie și convexitateClasa 11

Problemă rezolvată de Monotonie și convexitate

MediuMonotonie și convexitateAplicații ale derivatelorMatematică aplicată
O firmă produce un anumit produs. Profitul său, în mii de lei, este dat de funcția P(x)=−x3+9x2−15x+5P(x) = -x^3 + 9x^2 - 15x + 5, unde xx reprezintă cantitatea produsă, în sute de unități, cu x≥0x \geq 0. Determinați cantitatea care maximizează profitul și intervalele în care profitul este convex sau concav. Explicați semnificația economică a convexității în acest context.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
13 puncte
Calculați derivata întâi: P′(x)=−3x2+18x−15P'(x) = -3x^2 + 18x - 15. Rezolvați P′(x)=0P'(x)=0, adică −3x2+18x−15=0-3x^2 + 18x - 15 = 0, simplificând cu -3, x2−6x+5=0x^2 - 6x + 5 = 0, cu soluțiile x=1x=1 și x=5x=5.\n
23 puncte
Studiați semnul lui P′(x)P'(x) pe intervalele [0,1)[0,1), (1,5)(1,5), (5,∞)(5,\infty). Pentru x∈[0,1)x \in [0,1), P′(x)<0P'(x) < 0, deci PP este descrescătoare; pentru x∈(1,5)x \in (1,5), P′(x)>0P'(x) > 0, deci PP este crescătoare; pentru x∈(5,∞)x \in (5,\infty), P′(x)<0P'(x) < 0, deci PP este descrescătoare. Maximul este la x=5x=5.\n
32 puncte
Calculați derivata a doua: P′′(x)=−6x+18P''(x) = -6x + 18.\n
42 puncte
Studiați semnul lui P′′(x)P''(x): pentru x<3x < 3, P′′(x)>0P''(x) > 0, deci PP este convexă; pentru x>3x > 3, P′′(x)<0P''(x) < 0, deci PP este concavă. Semnificația economică: convexitatea indică o creștere accelerată a profitului, iar concavitatea indică o creștere încetinită sau scădere accelerată.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Monotonie și convexitate

Ușor#1Monotonie și convexitateDerivate
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=−x(x−2)2y = -x(x - 2)^2.
Ușor#2Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați intervalele de creștere și descreștere ale funcției y=2x3+3x2−2y = 2x^3 + 3x^2 - 2.
Ușor#3Monotonie și convexitateDerivate
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y=23x3−x2−4x+5y = \frac{2}{3}x^3 - x^2 - 4x + 5.
Mediu#4Monotonie și convexitateDerivateStudiul funcțiilor
Determinați punctele de maximum și minimum și intervalele de monotonicitate ale funcției y = x4−4x3−8x2+3x^4 - 4x^3 - 8x^2 + 3.
Vezi toate problemele de Monotonie și convexitate →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Monotonie și convexitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.