MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareNumere ComplexeMatrici
Rezolvați în mulțimea numerelor complexe sistemul: {(1+i)z1+(2−i)z2=3+4i(3−2i)z1+(1+3i)z2=5−2i\begin{cases} (1+i)z_1 + (2-i)z_2 = 3+4i \\ (3-2i)z_1 + (1+3i)z_2 = 5-2i \end{cases}, unde z1z_1 și z2z_2 sunt numere complexe.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Se scrie sistemul sub formă matriceală A⋅Z=BA \cdot Z = B, cu A=(1+i2−i3−2i1+3i)A = \begin{pmatrix} 1+i & 2-i \\ 3-2i & 1+3i \end{pmatrix}, Z=(z1z2)Z = \begin{pmatrix} z_1 \\ z_2 \end{pmatrix}, B=(3+4i5−2i)B = \begin{pmatrix} 3+4i \\ 5-2i \end{pmatrix}.
24 puncte
Se calculează determinantul lui AA: det⁡(A)=(1+i)(1+3i)−(2−i)(3−2i)=10i\det(A) = (1+i)(1+3i) - (2-i)(3-2i) = 10i; deoarece det⁡(A)≠0\det(A) \neq 0, se determină inversa matricei A−1=110i(1+3i−(2−i)−(3−2i)1+i)A^{-1} = \frac{1}{10i} \begin{pmatrix} 1+3i & -(2-i) \\ -(3-2i) & 1+i \end{pmatrix}.
33 puncte
Se obțin soluțiile prin Z=A−1⋅BZ = A^{-1} \cdot B, rezultând z1=1−iz_1 = 1-i și z2=2+iz_2 = 2+i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.