MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorȘiruri de numere reale
Se consideră ecuația x3−3x+1=0x^3 - 3x + 1 = 0. a) Demonstrați că această ecuație are exact trei soluții reale. b) Pentru soluția aflată în intervalul (0,1)(0,1), aproximați-o folosind metoda tangentei (Newton-Raphson) cu o iterație, pornind de la x0=0.5x_0=0.5.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Definim funcția g(x)=x3−3x+1g(x) = x^3 - 3x + 1. Calculăm g′(x)=3x2−3=3(x2−1)g'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2-1). Studiem semnul: g′(x)>0g'(x)>0 pe (−∞,−1)(-\infty,-1) și (1,∞)(1,\infty) (crescătoare), g′(x)<0g'(x)<0 pe (−1,1)(-1,1) (descrescătoare). Evaluăm: g(−2)=−8+6+1=−1<0g(-2)= -8+6+1=-1<0, g(−1)=−1+3+1=3>0g(-1)= -1+3+1=3>0, g(0)=1>0g(0)=1>0, g(1)=1−3+1=−1<0g(1)=1-3+1=-1<0, g(2)=8−6+1=3>0g(2)=8-6+1=3>0. Din teorema valorii intermediare și monotonie, există o rădăcină în (−2,−1)(-2,-1), una în (0,1)(0,1) (căci g(0)>0g(0)>0 și g(1)<0g(1)<0), și una în (1,2)(1,2) (căci g(1)<0g(1)<0 și g(2)>0g(2)>0). Deci exact trei soluții reale.
23 puncte
Pentru soluția în (0,1)(0,1), aplicăm metoda lui Newton: xn+1=xn−g(xn)g′(xn)x_{n+1} = x_n - \frac{g(x_n)}{g'(x_n)}. Cu x0=0.5x_0=0.5, calculăm g(0.5)=0.125−1.5+1=−0.375g(0.5)=0.125 - 1.5 + 1 = -0.375 și g′(0.5)=3(0.25−1)=−2.25g'(0.5)=3(0.25-1)= -2.25. Atunci x1=0.5−−0.375−2.25=0.5−0.3752.25=0.5−16=13x_1 = 0.5 - \frac{-0.375}{-2.25} = 0.5 - \frac{0.375}{2.25} = 0.5 - \frac{1}{6} = \frac{1}{3}.
33 puncte
Concluzie: Aproximarea soluției din (0,1)(0,1) după o iterație este x1=13x_1 = \frac{1}{3}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.