MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiNumere Complexe
Calculați determinantul matricei A=(1+i2−i3i1−i2i121+i)A = \begin{pmatrix} 1+i & 2-i & 3 \\ i & 1-i & 2i \\ 1 & 2 & 1+i \end{pmatrix} și exprimați rezultatul sub forma a+bia+bi.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți determinantul folosind regula lui Sarrus sau dezvoltarea după prima linie: det⁡(A)=(1+i)⋅∣1−i2i21+i∣−(2−i)⋅∣i2i11+i∣+3⋅∣i1−i12∣\det(A) = (1+i)\cdot\begin{vmatrix} 1-i & 2i \\ 2 & 1+i \end{vmatrix} - (2-i)\cdot\begin{vmatrix} i & 2i \\ 1 & 1+i \end{vmatrix} + 3\cdot\begin{vmatrix} i & 1-i \\ 1 & 2 \end{vmatrix}. \
24 puncte
Calculați fiecare determinant de ordinul 2 și efectuați operațiile: ∣1−i2i21+i∣=(1−i)(1+i)−(2i)(2)=2−4i\begin{vmatrix} 1-i & 2i \\ 2 & 1+i \end{vmatrix} = (1-i)(1+i) - (2i)(2) = 2 - 4i, ∣i2i11+i∣=i(1+i)−(2i)(1)=i+i2−2i=−1−i\begin{vmatrix} i & 2i \\ 1 & 1+i \end{vmatrix} = i(1+i) - (2i)(1) = i + i^2 - 2i = -1 - i, ∣i1−i12∣=i⋅2−(1−i)⋅1=2i−1+i=−1+3i\begin{vmatrix} i & 1-i \\ 1 & 2 \end{vmatrix} = i\cdot2 - (1-i)\cdot1 = 2i - 1 + i = -1 + 3i. Apoi înlocuiți și simplificați: det⁡(A)=(1+i)(2−4i)−(2−i)(−1−i)+3(−1+3i)\det(A) = (1+i)(2-4i) - (2-i)(-1-i) + 3(-1+3i). \
33 puncte
Efectuați înmulțirile și adunările: (1+i)(2−4i)=2−4i+2i−4i2=6−2i(1+i)(2-4i) = 2 - 4i + 2i - 4i^2 = 6 - 2i, (2−i)(−1−i)=−2−2i+i+i2=−3−i(2-i)(-1-i) = -2 - 2i + i + i^2 = -3 - i, deci det⁡(A)=(6−2i)−(−3−i)+(−3+9i)=6−2i+3+i−3+9i=6+8i\det(A) = (6-2i) - (-3-i) + (-3+9i) = 6-2i+3+i-3+9i = 6 + 8i. Rezultatul final este 6+8i6+8i.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.