MediuAplicații ale derivatelorClasa 11

Problemă rezolvată de Aplicații ale derivatelor

MediuAplicații ale derivatelorStudiul funcțiilorGeometrie Analitică
Fie funcția f(x)=x3−3x2+2f(x) = x^3 - 3x^2 + 2. a) Determinați ecuația tangentei la graficul funcției în punctul de abscisă x=1x=1. b) Studiați monotonia funcției. c) Găsiți punctele de pe grafic unde tangenta este paralelă cu dreapta y=3x−4y = 3x - 4.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
13 puncte
Calculul derivatei funcției: f′(x)=3x2−6xf'(x) = 3x^2 - 6x.
22 puncte
Determinarea pantei tangentei în x=1x=1: f′(1)=3(1)2−6(1)=−3f'(1) = 3(1)^2 - 6(1) = -3.
32 puncte
Scrierea ecuației tangentei: y−f(1)=f′(1)(x−1)y - f(1) = f'(1)(x-1), unde f(1)=0f(1)=0, deci y=−3x+3y = -3x + 3.
42 puncte
Studierea monotoniciei: f′(x)=3x(x−2)f'(x) = 3x(x-2), se analizează semnul derivatei; funcția este crescătoare pe (−∞,0](-\infty,0] și [2,∞)[2,\infty), descrescătoare pe [0,2][0,2].
51 punct
Găsirea punctelor unde tangenta este paralelă cu dreapta dată: se rezolvă f′(x)=3f'(x)=3, adică 3x2−6x=33x^2-6x=3, deci x2−2x−1=0x^2-2x-1=0 cu soluțiile x=1±2x=1\pm\sqrt{2}.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale derivatelor

Mediu#1Aplicații ale derivatelorMonotonie și convexitateMatematică aplicată
O companie produce și vinde un anumit produs. Funcția costului total este C(x)=0.2x2+30x+500C(x) = 0.2x^2 + 30x + 500, iar funcția prețului este p(x)=150−xp(x) = 150 - x, unde xx este numărul de unități produse și vândute. Determinați nivelul de producție care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#2Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O companie produce un anumit produs. Costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x3−3x2+30x+100C(x) = 0.1x^3 - 3x^2 + 30x + 100, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare pe unitate este p(x)=50−0.5xp(x) = 50 - 0.5x. Determinați cantitatea xx care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Ușor#3Aplicații ale derivatelorMatematică aplicatăStudiul funcțiilor
O firmă produce un produs, iar costul total de producție este dat de funcția C(x)=0.1x2+50x+1000C(x) = 0.1x^2 + 50x + 1000, unde xx este numărul de unități produse. Prețul de vânzare este p(x)=200−0.5xp(x) = 200 - 0.5x lei per unitate. Determinați numărul de unități care maximizează profitul și calculați profitul maxim.
Mediu#4Aplicații ale derivatelorMatematică aplicată
Un depozit are forma unui paralelipiped dreptunghic cu baza pătrată. Volumul depozitului trebuie să fie de 500 m³. Materialul pentru pereți costă 10 lei/m², iar pentru acoperiș costă 15 lei/m². Determinați dimensiunile depozitului care minimizează costul total de construcție.
Vezi toate problemele de Aplicații ale derivatelor →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale derivatelor cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.