MediuDeterminanțiClasa 11

Problemă rezolvată de Determinanți

MediuDeterminanțiTrigonometrieAplicații ale trigonometriei în geometrie
Fie determinantul D=∣1sin⁡Asin⁡Bsin⁡A1sin⁡Csin⁡Bsin⁡C1∣D = \begin{vmatrix} 1 & \sin A & \sin B \\ \sin A & 1 & \sin C \\ \sin B & \sin C & 1 \end{vmatrix}, unde AA, BB, CC sunt unghiurile unui triunghi.
  1. Calculați DD și simplificați-l folosind identități trigonometrice și proprietăți ale determinanților.
  2. Arătați că D=4sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2(cos⁡A2cos⁡B2cos⁡C2−sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2)D = 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} - \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\right).
  3. Utilizați rezultatul pentru a demonstra că pentru orice triunghi, D>0D > 0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Calculul determinantului: D=1⋅∣1sin⁡Csin⁡C1∣−sin⁡A⋅∣sin⁡Asin⁡Csin⁡B1∣+sin⁡B⋅∣sin⁡A1sin⁡Bsin⁡C∣=1⋅(1−sin⁡2C)−sin⁡A(sin⁡A⋅1−sin⁡C⋅sin⁡B)+sin⁡B(sin⁡A⋅sin⁡C−1⋅sin⁡B)=1−sin⁡2C−sin⁡A(sin⁡A−sin⁡Bsin⁡C)+sin⁡B(sin⁡Asin⁡C−sin⁡B)=1−sin⁡2C−sin⁡2A+sin⁡Asin⁡Bsin⁡C+sin⁡Asin⁡Bsin⁡C−sin⁡2B=1−(sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C)+2sin⁡Asin⁡Bsin⁡CD = 1\cdot\begin{vmatrix} 1 & \sin C \\ \sin C & 1 \end{vmatrix} - \sin A\cdot\begin{vmatrix} \sin A & \sin C \\ \sin B & 1 \end{vmatrix} + \sin B\cdot\begin{vmatrix} \sin A & 1 \\ \sin B & \sin C \end{vmatrix} = 1\cdot(1-\sin^2 C) - \sin A(\sin A\cdot 1 - \sin C\cdot\sin B) + \sin B(\sin A\cdot\sin C - 1\cdot\sin B) = 1 - \sin^2 C - \sin A(\sin A - \sin B\sin C) + \sin B(\sin A\sin C - \sin B) = 1 - \sin^2 C - \sin^2 A + \sin A\sin B\sin C + \sin A\sin B\sin C - \sin^2 B = 1 - (\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C) + 2\sin A\sin B\sin C.
24 puncte
Folosim identitatea: sin⁡2A+sin⁡2B+sin⁡2C=2+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C\sin^2 A + \sin^2 B + \sin^2 C = 2 + 2\cos A\cos B\cos C pentru unghiurile unui triunghi (deoarece A+B+C=πA+B+C=\pi). Atunci D=1−(2+2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C)+2sin⁡Asin⁡Bsin⁡C=−1−2cos⁡Acos⁡Bcos⁡C+2sin⁡Asin⁡Bsin⁡CD = 1 - (2 + 2\cos A\cos B\cos C) + 2\sin A\sin B\sin C = -1 - 2\cos A\cos B\cos C + 2\sin A\sin B\sin C. Folosind formule pentru jumătate de unghi: sin⁡A=2sin⁡A2cos⁡A2\sin A = 2\sin\frac{A}{2}\cos\frac{A}{2}, cos⁡A=2cos⁡2A2−1=1−2sin⁡2A2\cos A = 2\cos^2\frac{A}{2} - 1 = 1 - 2\sin^2\frac{A}{2}. Înlocuim și simplificăm, obținem: D=4sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2(cos⁡A2cos⁡B2cos⁡C2−sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2)D = 4\sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\left(\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} - \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2}\right).
32 puncte
Într-un triunghi, 0<A2,B2,C2<π20 < \frac{A}{2}, \frac{B}{2}, \frac{C}{2} < \frac{\pi}{2}, deci sin⁡A2,sin⁡B2,sin⁡C2>0\sin\frac{A}{2}, \sin\frac{B}{2}, \sin\frac{C}{2} > 0. De asemenea, cos⁡A2cos⁡B2cos⁡C2>sin⁡A2sin⁡B2sin⁡C2\cos\frac{A}{2}\cos\frac{B}{2}\cos\frac{C}{2} > \sin\frac{A}{2}\sin\frac{B}{2}\sin\frac{C}{2} deoarece pentru α∈(0,π2)\alpha \in (0,\frac{\pi}{2}), cos⁡α>sin⁡α\cos\alpha > \sin\alpha dacă α<π4\alpha < \frac{\pi}{4}, iar cel puțin două dintre jumătățile de unghiuri sunt mai mici decât π4\frac{\pi}{4} (dacă toate ar fi mai mari sau egale cu π4\frac{\pi}{4}, suma ar fi ≥3π4>π2\geq \frac{3\pi}{4} > \frac{\pi}{2}, fals). Deci paranteza este pozitivă, iar produsul cu factorii pozitivi dă D>0D > 0.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Determinanți

Ușor#1DeterminanțiNumere Complexe
Calculează determinantul D=∣1i−1i−11−11i∣D = \begin{vmatrix} 1 & i & -1 \\ i & -1 & 1 \\ -1 & 1 & i \end{vmatrix} și determină valorile reale ale lui xx pentru care D=x2−4x+5D = x^2 - 4x + 5.
Mediu#2DeterminanțiSisteme de Ecuații Liniare
Fie sistemul de ecuații liniare {ax+y+z=1x+ay+z=ax+y+az=a2\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ x + a y + z = a \\ x + y + a z = a^2 \end{cases}, unde a∈Ra \in \mathbb{R}. Determină valorile lui aa pentru care sistemul are soluție unică și găsește această soluție folosind regula lui Cramer.
Mediu#3DeterminanțiAlgebră și Calcule cu Numere RealeIdentități algebrice
Se consideră determinantul D(a,b,c)=∣abcbcacab∣D(a,b,c) = \begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c & a \\ c & a & b \end{vmatrix}, unde aa, bb, cc sunt numere reale. Calculați D(a,b,c)D(a,b,c) și determinați toate valorile reale ale lui aa, bb, cc pentru care D(a,b,c)=0D(a,b,c) = 0.
Mediu#4DeterminanțiSisteme de Ecuații LiniareMatrici
Se dă sistemul de ecuații liniare: {x+y+z=1ax+by+cz=da2x+b2y+c2z=d2\begin{cases} x + y + z = 1 \\ ax + by + cz = d \\ a^2 x + b^2 y + c^2 z = d^2 \end{cases}, unde aa, bb, cc, dd sunt numere reale. Determinați condițiile pentru care sistemul are soluție unică și găsiți soluția folosind regula lui Cramer.
Vezi toate problemele de Determinanți →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Determinanți cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.