MediuSisteme de Ecuații LiniareClasa 11

Problemă rezolvată de Sisteme de Ecuații Liniare

MediuSisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Fie sistemul de ecuații liniare omogen: {(k+1)x+2y+3z=02x+(k+2)y+3z=03x+3y+(k+3)z=0\begin{cases} (k+1)x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + (k+2)y + 3z = 0 \\ 3x + 3y + (k+3)z = 0 \end{cases} unde k∈Rk \in \mathbb{R}. a) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluții nenule. b) Pentru k=0k=0, rezolvați sistemul și interpretați geometric mulțimea soluțiilor.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
13 puncte
Scrieți matricea sistemului A=(k+1232k+2333k+3)A = \begin{pmatrix} k+1 & 2 & 3 \\ 2 & k+2 & 3 \\ 3 & 3 & k+3 \end{pmatrix} și calculați det⁡(A)=(k+1)(k+2)(k+3)+12+18−9(k+2)−9(k+1)−12\det(A) = (k+1)(k+2)(k+3) + 12 + 18 - 9(k+2) - 9(k+1) - 12. Simplificați la det⁡(A)=k(k2+6k+11)\det(A) = k(k^2 + 6k + 11).
24 puncte
Sistemul are soluții nenule dacă det⁡(A)=0\det(A) = 0, deci k(k2+6k+11)=0k(k^2 + 6k + 11) = 0. Rezolvând, k=0k=0 sau k2+6k+11=0k^2 + 6k + 11 = 0, care nu are soluții reale. Astfel, singura valoare reală este k=0k=0.
33 puncte
Pentru k=0k=0, sistemul devine {x+2y+3z=02x+2y+3z=03x+3y+3z=0\begin{cases} x + 2y + 3z = 0 \\ 2x + 2y + 3z = 0 \\ 3x + 3y + 3z = 0 \end{cases}. Rezolvând, obținem x=0x = 0, y=−zy = -z, deci soluțiile sunt de forma (0,t,−t)(0, t, -t) cu t∈Rt \in \mathbb{R}. Geometric, acestea reprezintă o dreaptă prin origine în spațiu, intersecția a trei plane.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Sisteme de Ecuații Liniare

Mediu#1Sisteme de Ecuații LiniareMatematică financiarăAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Un investitor plasează o sumă totală de 1000010000 lei în două depozite bancare: unul cu dobândă simplă de 4%4\% pe an, și altul cu dobândă compusă de 3%3\% pe an, capitalizată anual. După 22 ani, suma totală obținută este de 1080010800 lei. Să se determine sumele investite în fiecare depozit.
Mediu#2Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul de ecuații liniare folosind metoda matricelor: {2x+y−z=1x−y+2z=03x+2y+z=4\begin{cases} 2x + y - z = 1 \\ x - y + 2z = 0 \\ 3x + 2y + z = 4 \end{cases}
Mediu#3Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Rezolvați sistemul liniar {x+2y−z=12x+y+z=5−x+y+2z=3\begin{cases} x + 2y - z = 1 \\ 2x + y + z = 5 \\ -x + y + 2z = 3 \end{cases} folosind metoda matriceală. Scrieți matricea coeficienților și determinați soluția.
Mediu#4Sisteme de Ecuații LiniareMatriciDeterminanți
Se consideră sistemul de ecuații liniare {x+2y+z=12x+y+3z=23x+ky+5z=3\begin{cases} x + 2y + z = 1 \\ 2x + y + 3z = 2 \\ 3x + ky + 5z = 3 \end{cases}. a) Scrieți matricea asociată sistemului. b) Determinați valorile lui kk pentru care sistemul are soluție unică. c) Pentru k=2k=2, rezolvați sistemul folosind matricea inversă.
Vezi toate problemele de Sisteme de Ecuații Liniare →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Sisteme de Ecuații Liniare cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.