MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăIdentități algebriceȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: 12+22+32+⋯+n2=n(n+1)(2n+1)61^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 = \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 4 pași
12 puncte
Verificăm pentru n=1n=1: 12=11^2 = 1 și 1⋅2⋅36=1\frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1, deci egalitatea este adevărată.
22 puncte
Presupunem că egalitatea este adevărată pentru n=kn=k, adică 12+22+⋯+k2=k(k+1)(2k+1)61^2 + 2^2 + \dots + k^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.
34 puncte
Demonstrăm pentru n=k+1n=k+1. Calculăm 12+22+⋯+k2+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=(k+1)[k(2k+1)6+(k+1)]=(k+1)2k2+k+6k+66=(k+1)2k2+7k+661^2 + 2^2 + \dots + k^2 + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = (k+1) \left[ \frac{k(2k+1)}{6} + (k+1) \right] = (k+1) \frac{2k^2 + k + 6k + 6}{6} = (k+1) \frac{2k^2 + 7k + 6}{6}. Factorizăm 2k2+7k+6=(k+2)(2k+3)2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3). Obținem (k+1)(k+2)(2k+3)6\frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6}, care este formula pentru n=k+1n=k+1.
42 puncte
Prin principiul inducției matematice, egalitatea este adevărată pentru orice n≥1n \geq 1.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.