MediuInducție matematicăClasa 11

Problemă rezolvată de Inducție matematică

MediuInducție matematicăAlgebră și Calcule cu Numere RealeȘiruri de numere reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, suma Sn=12+22+32+⋯+n2S_n = 1^2 + 2^2 + 3^2 + \dots + n^2 este egală cu n(n+1)(2n+1)6\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
12 puncte
Verificarea pentru n=1n=1. Se calculează S1=12=1S_1 = 1^2 = 1 și 1(1+1)(2⋅1+1)6=1⋅2⋅36=1\frac{1(1+1)(2 \cdot 1 +1)}{6} = \frac{1 \cdot 2 \cdot 3}{6} = 1, deci egalitatea este adevărată.
23 puncte
Presupunerea inductivă: pentru un k≥1k \geq 1, Sk=k(k+1)(2k+1)6S_k = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6}.
35 puncte
Demonstrarea pentru k+1k+1: Sk+1=Sk+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)6+(k+1)2=k(k+1)(2k+1)+6(k+1)26=(k+1)[k(2k+1)+6(k+1)]6=(k+1)[2k2+k+6k+6]6=(k+1)[2k2+7k+6]6S_{k+1} = S_k + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} + (k+1)^2 = \frac{k(k+1)(2k+1) + 6(k+1)^2}{6} = \frac{(k+1)[k(2k+1) + 6(k+1)]}{6} = \frac{(k+1)[2k^2 + k + 6k + 6]}{6} = \frac{(k+1)[2k^2 + 7k + 6]}{6}. Factorizând, 2k2+7k+6=(k+2)(2k+3)2k^2 + 7k + 6 = (k+2)(2k+3), deci Sk+1=(k+1)(k+2)(2k+3)6=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)6S_{k+1} = \frac{(k+1)(k+2)(2k+3)}{6} = \frac{(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)}{6}, ceea ce completează demonstrația.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Inducție matematică

Ușor#1Inducție matematicăȘiruri de numere reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=1a_1 = 1 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=2n−1a_n = 2^n - 1 pentru orice n∈N∗n \in \mathbb{N}^*.
Ușor#2Inducție matematicăPolinoame
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, polinomul xn−1x^n - 1 este divizibil cu x−1x-1.
Mediu#3Inducție matematicăIdentități algebriceAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Demonstrați prin inducție matematică că pentru orice număr natural n≥1n \geq 1, are loc egalitatea: ∑k=1nk3=(n(n+1)2)2\sum_{k=1}^{n} k^3 = \left( \frac{n(n+1)}{2} \right)^2.
Ușor#4Inducție matematicăȘiruri de numere realeAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Se consideră șirul (an)n≥1(a_n)_{n \geq 1} definit prin a1=2a_1 = 2 și an+1=2an+1a_{n+1} = 2a_n + 1 pentru orice n≥1n \geq 1. Demonstrați prin inducție matematică că an=3⋅2n−1−1a_n = 3 \cdot 2^{n-1} - 1 pentru orice n≥1n \geq 1.
Vezi toate problemele de Inducție matematică →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Inducție matematică cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.