MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieClasa 9

Problemă rezolvată de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

MediuAplicații ale trigonometriei în geometrieVectori
Se consideră vectorii u⃗=3i⃗+4j⃗\vec{u} = 3\vec{i} + 4\vec{j} și v⃗=ai⃗+bj⃗\vec{v} = a\vec{i} + b\vec{j}. Știind că ∣v⃗∣=5|\vec{v}| = 5 și că unghiul dintre u⃗\vec{u} și v⃗\vec{v} este 60∘60^\circ, determinați valorile reale ale lui aa și bb.

Rezolvare completă

10 puncte · 5 pași
12 puncte
Folosind definiția produsului scalar, u⃗⋅v⃗=∣u⃗∣∣v⃗∣cos⁡θ\vec{u} \cdot \vec{v} = |\vec{u}||\vec{v}|\cos\theta, unde θ=60∘\theta = 60^\circ.
22 puncte
Calculăm ∣u⃗∣=32+42=5|\vec{u}| = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5, cos⁡60∘=12\cos 60^\circ = \frac{1}{2}, deci u⃗⋅v⃗=5⋅5⋅12=252\vec{u} \cdot \vec{v} = 5 \cdot 5 \cdot \frac{1}{2} = \frac{25}{2}.
32 puncte
Exprimăm produsul scalar: u⃗⋅v⃗=3a+4b\vec{u} \cdot \vec{v} = 3a + 4b, deci 3a+4b=2523a + 4b = \frac{25}{2}.
42 puncte
Condiția pentru modul: ∣v⃗∣=a2+b2=5|\vec{v}| = \sqrt{a^2 + b^2} = 5, deci a2+b2=25a^2 + b^2 = 25.
52 puncte
Rezolvăm sistemul {3a+4b=252a2+b2=25\begin{cases} 3a + 4b = \frac{25}{2} \\ a^2 + b^2 = 25 \end{cases}. Din prima ecuație, a=25−8b6a = \frac{25 - 8b}{6}. Înlocuim în a doua: (25−8b6)2+b2=25\left(\frac{25 - 8b}{6}\right)^2 + b^2 = 25. Simplificăm la 100b2−400b−275=0100b^2 - 400b - 275 = 0, apoi 4b2−16b−11=04b^2 - 16b - 11 = 0. Soluțiile sunt b=2±332b = 2 \pm \frac{3\sqrt{3}}{2}. Pentru fiecare bb, calculăm a=25−8b6=3∓432a = \frac{25 - 8b}{6} = \frac{3 \mp 4\sqrt{3}}{2}. Astfel, vectorii sunt v⃗=(3+432i⃗+(2−332)j⃗)\vec{v} = \left(\frac{3 + 4\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \left(2 - \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\vec{j}\right) și v⃗=(3−432i⃗+(2+332)j⃗)\vec{v} = \left(\frac{3 - 4\sqrt{3}}{2}\vec{i} + \left(2 + \frac{3\sqrt{3}}{2}\right)\vec{j}\right).

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Aplicații ale trigonometriei în geometrie

Ușor#1Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrie
Un turn are înălțimea de 30 m. De la baza turnului, un observator măsoară unghiul de elevație la vârful unui stâlp vecin ca fiind 45°. De la vârful turnului, același observator măsoară unghiul de depresiune la baza stâlpului ca fiind 30°. Să se determine înălțimea stâlpului și distanța dintre turn și stâlp.
Ușor#2Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un avion zboară orizontal la o înălțime constantă de 5000 m. De la un punct de observație la sol, unghiul de elevație al avionului este măsurat la 30°. După 10 minute, unghiul de elevație devine 60°. Presupunând că avionul se deplasează rectiliniu și orizontal, calculați viteza avionului în km/h.
Ușor#3Aplicații ale trigonometriei în geometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație față de vârful unui turn ca fiind 30∘30^\circ de la o anumită distanță. După ce se apropie cu 50 m, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului și distanța inițială.
Mediu#4Aplicații ale trigonometriei în geometrieTrigonometrieMatematică aplicată
Un observator măsoară unghiul de elevație până la vârful unui turn și obține 30∘30^\circ. După ce se apropie cu 20 m de turn, unghiul de elevație devine 45∘45^\circ. Determinați înălțimea turnului, presupunând că solul este orizontal.
Vezi toate problemele de Aplicații ale trigonometriei în geometrie →
57 zile până la BAC

Pregătește-te la Aplicații ale trigonometriei în geometrie cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.