MediuContinuitateClasa 11

Problemă rezolvată de Continuitate

MediuContinuitateDerivateStudiul funcțiilor
Fie funcția f:R→Rf: \mathbb{R} \to \mathbb{R} definită prin f(x)={aex+bdaca˘ x<0x2+2x+cdaca˘ x≥0f(x) = \begin{cases} a e^{x} + b & \text{dacă } x < 0 \\ x^2 + 2x + c & \text{dacă } x \geq 0 \end{cases}, unde a,b,c∈Ra, b, c \in \mathbb{R}. Determinați a,b,ca, b, c astfel încât ff să fie continuă și derivabilă în x=0x=0.

Rezolvare completă

10 puncte · 3 pași
14 puncte
Scriem condiția de continuitate în x=0x=0: lim⁡x→0−f(x)=lim⁡x→0+f(x)=f(0)\lim_{x \to 0^-} f(x) = \lim_{x \to 0^+} f(x) = f(0). Calculăm: lim⁡x→0−(aex+b)=a+b\lim_{x \to 0^-} (a e^{x} + b) = a + b, lim⁡x→0+(x2+2x+c)=c\lim_{x \to 0^+} (x^2 + 2x + c) = c, și f(0)=cf(0) = c. Deci a+b=ca + b = c.
24 puncte
Scriem condiția de derivabilitate în x=0x=0: lim⁡h→0−f(h)−f(0)h=lim⁡h→0+f(h)−f(0)h\lim_{h \to 0^-} \frac{f(h)-f(0)}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{f(h)-f(0)}{h}. Calculăm derivata stângă: lim⁡h→0−aeh+b−ch=lim⁡h→0−aeh+b−(a+b)h=lim⁡h→0−a(eh−1)h=a⋅1=a\lim_{h \to 0^-} \frac{a e^{h} + b - c}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{a e^{h} + b - (a+b)}{h} = \lim_{h \to 0^-} \frac{a(e^{h} - 1)}{h} = a \cdot 1 = a (folosind lim⁡u→0eu−1u=1\lim_{u \to 0} \frac{e^{u}-1}{u}=1). Derivata dreaptă: lim⁡h→0+h2+2h+c−ch=lim⁡h→0+h2+2hh=lim⁡h→0+(h+2)=2\lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 + 2h + c - c}{h} = \lim_{h \to 0^+} \frac{h^2 + 2h}{h} = \lim_{h \to 0^+} (h + 2) = 2. Deci a=2a = 2.
32 puncte
Din a=2a=2 și a+b=ca+b=c, obținem 2+b=c2+b=c. Pentru continuitate și derivabilitate, soluția este a=2a=2, b∈Rb \in \mathbb{R}, c=2+bc=2+b.

Ai rezolvat această problemă?

Trimite soluția ta și primește feedback AI detaliat — vezi exact unde ai greșit și cum să îmbunătățești.

Vreau evaluare AI — e gratuit

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.

Probleme similare de Continuitate

Ușor#1ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita: lim⁡x→2x2−5x+6x2−12x+20\lim_{x\to 2} \frac{x^2 - 5x + 6}{x^2 - 12x + 20}.
Ușor#2ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere RealePolinoame
Calculați limita lim⁡x→2x3−3x−2x3−8\lim_{x\to 2}\frac{x^3-3x-2}{x^3-8}.
Ușor#3ContinuitateStudiul funcțiilor
Calculați limita lim⁡x→1x3−2x−1x5−2x−1\lim_{x\to1} \frac{x^3 - 2x - 1}{x^5 - 2x - 1}.
Mediu#4ContinuitateAlgebră și Calcule cu Numere Reale
Calculați limita lim⁡x→41+2x−3x−2\lim_{x\to 4} \frac{\sqrt{1 + 2x} - 3}{\sqrt{x} - 2}.
Vezi toate problemele de Continuitate →
62 zile până la BAC

Pregătește-te la Continuitate cu AI

Rezolvă probleme pe hârtie, fotografiază și primește feedback instant de la AI — ca de la un profesor.

Vreau evaluare AI pe soluția mea

50 credite gratuite la înregistrare. Fără card, fără obligații.